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兹马思-数学第一资源

应用区间分析。给出了参数和状态估计、鲁棒控制和机器人学的例子。包括1张CD-ROM。(英语) Zbl 1023.65037
伦敦:斯普林格。十六,第379页(2001年)。
在大多数工程问题中,我们寻找满足某些约束条件的设计。通常,除了这些约束之外,我们还有一个定义明确的目标函数,我们希望在所有可能的设计中,找到这个目标函数值最大(或最小)的一个。
在数学术语中,对参数的约束(x_1,\ldots,x\u n\)通常用等式和/或不等式表示;因此,设计问题可以表述为约束满足问题或约束优化问题。求解这些问题有很多数值算法。对于这些算法,我们通常只知道它们的收敛速度,但是对于实际应用,当我们在一定数量的迭代之后停止算法时,我们很少知道我们离满足约束和/或全局最大值有多近。在许多实际应用中,我们需要知道我们离最大值有多近,以及是否存在我们没有找到的最大值。事实上,如果额外的计算可以极大地改善目标函数,从而带来可观的效益,那么它是值得追求的;否则,浪费计算机时间寻找微小的改进是不值得的。换言之,我们需要能够自动验证结果的数值方法。
例如,在一维情况下,除了所需全局最大值的位置(x)的近似值\(\ widetilde x\)外,我们还想知道这个近似值的精度。一旦我们知道\(\Delta\),这意味着实际(未知)值\(x\)在区间\([\widetilde x-\Delta,\widetilde x+\Delta]\)的某个地方。其他一些数值方法可能为我们提供一个不同的近似值\(x'\),以及可能的正负近似误差的不同界限,这些误差导致可能值\(x\)的相同区间。从这个区间,我们得到的不是这个区间的近似值。因此,我们的目标是生成可能值的区间。因此,具有自动结果验证功能的方法也称为区间分析或区间计算。
一旦我们知道了\(x_1,\ldots,x\u n\)的可能值的间隔,我们可能需要根据\(x_i\)找到某些特征\(y=f(x_1,\ldots,x_n)的可能值的区间。在一些情况下,有明确的公式来描述\(y\)的范围,如\(n=2\)和\(f(x_1,x_2)\)是算术运算(+,\(-)等;这些情况形成区间算术。
在多维情况下,不是区间,而是一个可能值的范围。这个范围的每一个1D投影都可以用一个区间来描述,这个区间本身可以描述为有限多个矩形框的并集(I_1\times\ldots\times I\u n\)。这种表示在解决约束满足和优化问题时是有效的:一旦我们有了这种类型的表示,我们就可以对所有的框进行平分,使用区间算法检查每个子框上的任何地方是否满足约束,并消除不满足此要求的子框。对于最小化,我们可以做一个类似的二分法,并消除一个子盒,其目标函数的整个范围高于已实现的最小值。
这些只是主要的想法。作者从基础知识开始,从这些基础出发,描述了解决非线性方程组和/或不等式组的最新算法,以及用于自动结果验证的优化算法。在第三部分,他们展示了如何将这些方法应用于参数估计、鲁棒控制和机器人规划;在第四部分,他们展示了如何有效地编写相应的算法。这本书有许多例子。它既可以作为研究专著,也可以作为研究生教材(我自己在教授区间计算时也用过)。对于那些想从这本书中学习区间分析的读者,我唯一(次要的)警告是,作者的术语有时与大多数区间研究者使用的术语不同。

理学硕士:
65克40 区间分析的一般方法
65-02年 与数值分析有关的研究展览会(专著、调查文章)
6520国集团 自动结果验证算法
65G30型 区间与有限算法
70E60型 机器人动力学与刚体控制
6505公里 数值数学规划方法
90立方厘米 非线性规划
62层10层 点估计
65立方英尺 统计计算问题(MSC2010)
93B30型 系统标识
93D09型 鲁棒稳定性
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