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关于拟群的一些旧的东西和一些新的东西。(Altes und Neuesüber Quasigruppen) (德语) Zbl 0935.20063号

这是关于拟群((V,*))(即,(V中的所有a,b\),(V\中的现有s_1x\),V中的现有s1y\):(a*x=b\)。对于具有(v:=|v|in\mathbb{N})(用(text{QG}(v)表示)的拟群,有一个与拉丁方的一一对应关系。(V,*)的次拟群可以具有不同于群的性质,例如,“(|{\mathcal U}|\mid V\)”通常不为真。
Idempotent\(\text{QG}(v)\)的(即,\(对于v中的所有x):\(x*x=x\),用\(text{IQG}\(v)表示)从Galois域\(\text}GF}(q)\)和有限近域\((v,+,cdot)\)通过设置\(xx*y:=y+c(x-y)\)获得,其中,v中的\(c\ setminus\{0,1\}\)是固定的(第3节)。通常,对于不同的元素\(c),这些\((V_c,*)\)不是同构的。
一类特殊的\(\text{IQG}(v)\)是\(k\in\mathbb{N})的\(k\ leqv\)的\。如果\(\omega\)是\(\text{GF}(q)\)\((V,+,\cdot)\)的基本元素,那么\((V_{1-\omega},*)\)是一个\(q\text{-IQG}(q)\)。但对于每个(v\in\mathbb{N}\setminus\{1,2\}),都有一个(v\text{-IQG}(v))(参见定理4.3.1)。此类示例是通过J.Shiftar的方法获得的。
每一个带有(2<k)的(k\text{-IQG}(v))((v,*))都诱导出一个类型为(S(2,k,v)的Steiner系统(块是由(v)的两个元素生成的(v,x)的次拟群)(定理5.1)。如果((V,{mathcal B})是类型为(S(2,k,V)的Steiner系统,如果(B,*)是(k\text{-IQG}(k)),那么可以构造一个(k\text{-IQG}(V))(V,*))(定理5.2)。
在第6节中,作者讨论了一个(文本{IQG}(v))的自同构群,特别是如果(文本{IQG{(v。\((V,+,\cdot)\)的仿射群(即映射\(x\到a+b\cdot x\),其中\(a,b\在V中),\(b\neq 0\))是\(operatorname{Aut}(V_c,*)\的一个子群。如果Viceversa((V,*)是一个带有急剧2-传递自同构群的\(text{IQG}(V)\),那么\(V)可以在一个近域\(V,+,cdot)\中旋转,使得在V中有一个\(c\)with\(V、*)=(V_c,*)\)(参见第6.4节)。对于每一个\(v\in\mathbb{N}\setminus\{3,4\}\),通过Shiftar方法构造的\(\text{IQG}(v)\)都不具有尖锐的2-传递自同构群(第6.5节)。如果(对于v中的所有x,y):(x*(x*y)=y*x),则称为Stein拟群。
我们有(text{SQG}(v)\subset\text{IQG}(v)),任何(text{SQGneneneep(v)\)都是表示(v>1)不可交换和不可结合的,并且对应于(text{SQG}-(v)的拉丁方(text{LS}(v)\)是自正交的。Shiftar的构造方法仅为(v=4)a(text{SQG}(v))产生,并且当且仅当(c\)满足(c^2-3c+1=0)时,a(text{GF}(q)或有限近场的导子是a。最后,作者考虑了\(k\text{-SQG}(v):=\text{SQG}(v)\cap(k\text{-IQG}-(v))并证明了:\(\text{SQG}\setminus(k\ttext{-SQG})\neq\emptyset\),\。

MSC公司:

20号05 环,拟群
05B15号 正交数组、拉丁方块、房间方块
07年5月 三重系统

软件:

SQG公司
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