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阿贝尔-刘维尔身份的延伸。 (英语) Zbl 1517.34018号

本文证明了广义Wronskians的Abel-Liouville恒等式在非交换完全Bell多项式(B_m)上的推广,定义如下:让(mathbb{R}^{n\timesn})表示具有实项的(n次n)矩阵的环和(mathbb{一} _n(n)\)单位矩阵。现在通过递归定义非交换完全贝尔多项式\[B_0:=\mathbb{一} _n(n),\quad B_{m+1}(X_1,\dots,X_{m+1}):=\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}B_j(X_1,\dotes,X_j)X_{m+1-j}。\]本文的主要结果如下:
定理。设(n,m\in\mathbb{n}),(a=(a_1,dots,a_n\[y^{(n)}=a_1y^{(n-1)}+\点+a_ny。\]设(e_1,\dots,e_n)表示(\mathbb{R}^n)的标准基元,并设矩阵值函数(X_a:I\ to \mathbb{R}^{n\times n})定义为\[X_a:=(a\\e_1\\\dots\\e_{n-1})。\]那么对于\(k=(k_1,\dots,k_n)\in\mathbb{N} _0(0)^n)和(max(k_1,dots,kN)leq m+n-1),\[\开始{对齐}W_f^k=W_f\Big|B_{\ell_1}(X_a,\dots,X_a^{(\ell_1-1)})e_{n+\ell_1-k_1}\\dots\\B_{\ ell_n},\结束{对齐}\]其中,对于\(i\in\{1,\点,n\}\ell_i:=\最大值(k_i-n+1,0);\W_f:=\big|f^{(n-1)}\\dots\\f'\\f\big|);广义Wronskian定义为足够光滑的函数\[W_f^k:=\big|f^{(k_1)}\\dots\\f^{(k_n)}\big|。\]利用Bell多项式所满足的某些关系式和微分方程,通过直接计算证明了该定理。
然后,作者考虑了当(i\in\{2,\dots,n\})为\(\ell_i=0)时的特殊情况,以便于计算和简化上述定理中的行列式。另一个特例恢复了经典的阿贝尔-刘维尔恒等式,可以用上述符号重铸为\[W_f^{(n,n-2,\点,0)}=a_1 W_f*{(n-1,n-2。\点,O)}。\]如果存在非奇异(n次n次)矩阵(a)使得(f=Ag),作者还通过(f\sim g)引入了连续(n维)向量值函数的值域等价性。最后,他们通过将广义Wronskian与每个函数的Wronskia的一定比率相等,来刻画具有非零Wronskain的n次可微函数的等价关系。

MSC公司:

34A30型 线性常微分方程组
34A05型 显式解,常微分方程的第一积分
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参考文献:

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[4] G.Teschl,《常微分方程和动力系统》,《数学研究生》,140,美国数学学会,普罗维登斯,RI,2012年·Zbl 1263.34002号
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