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Whittaker和Gauss超几何函数的Wronskians不定积分。 (英语) Zbl 1503.34042号

由许多特殊函数服从的一般二阶线性齐次微分方程具有以下形式\[\条{y}“”(x)+\bar{p}(x)\bar{y}'(x)+\bar{q}(x)\bar}y(x)=0,\]该方程有两个独立的解{y}(y)_{1} (x)和(\bar{y}(y)_{2} (x),其通解由({y}(x)=C_{1}给出{y}(y)_{1} (x)+C_{2}\bar{y}(y)_{2} (x).\)
在[J.T.康威,积分变换特殊功能。32,第10号,801-811(2021;Zbl 1484.34091号)],表明如果\(y(x)=\frac{\bar{y}(y)_{2} (x)}{\bar{y}(y)_{1} (x)}\),则它服从微分方程\[y''(x)+\left(\bar{p}(x)+2\frac{\bar{y}'_{1}(x)}{\bar{y}(y)_{1} (x)}\右)y'(x)=0,\]并且如果\(y(x)=\frac{\bar{y}(y)_{1} (x)}{\bar{y}(y)_{2} (x)},则它服从微分方程\[y''(x)+\左(\bar{p}(x)+2\frac{\bar{y}'{2}(x)}{\bar{y}(y)_{2} (x)}\右)y'(x)=0。\]这些方程与各自的朗斯基方程密切相关。在J.T.Conway的上述论文中,讨论了某些方法,并将其应用于推导许多涉及贝塞尔函数和相关勒让德函数的不定积分。
本文用同样的方法推导了Whittaker函数和Gauss超几何函数的不定积分。Whittaker函数和Gauss超几何函数都有许多常规的递推关系,它们给出了相应的积分。这里给出的所有结果都已使用Mathematica进行了数值检查。

MSC公司:

34A30型 线性常微分方程组
33立方厘米15 合流超几何函数,Whittaker函数,({}_1F_1)
33二氧化碳 经典超几何函数,({}_2F_1)
33B20型 不完整的β和γ函数(误差函数、概率积分、菲涅耳积分)
34A05型 显式解,常微分方程的第一积分
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全文: 内政部

参考文献:

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[2] 新罕布什尔州阿贝尔。,《奥弗莱斯综合》,第1卷(1839年),克里斯蒂安尼亚:格伦达尔,克里斯蒂安
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[6] Wolfram,S.,《数学书》(2003),香槟(伊利诺伊州):Wolfram Media,香槟(伊利诺伊州)
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[9] IS Gradshteyn;里兹克,IM。,积分、系列和产品表(2007),纽约(NY):学术,纽约(纽约)·Zbl 1208.65001号
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