×
马尔顿纳斯佐迪;莫里茨·文津

覆盖凸体和最近向量问题。 （英文） 兹比尔1492.90090

离散计算。地理。 67，第4期，1191-1210（2022）.
摘要：我们提出了某些范数的最接近向量问题的（（1+\epsilon）-近似版本的算法。当前最快的算法[D.达杜什和G.Kun先生，理论计算。12，第2号论文，34页（2016年；兹比尔1362.68291)]对于维（n）中的一般范数，其运行时间为（2^{O（n）}（1/\epsilon）^n）。我们在以下两种情况下大大改进了这一点。首先，对于（p>2）（resp.（p\in[1,2]））固定的（ell_p）-范数，我们给出了一个运行时间为（2^{O（n）}（1+1/\epsilon）^{n/2}）（resp。该结果基于一个几何覆盖问题，该问题是由CVP引入的F.艾森布兰德等【摘自：第27届计算几何年度研讨会论文集，2011年SoCG，法国巴黎，2011年6月13日至15日。纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。417–423 (2011;Zbl 1283.68358号)]：需要多少个凸体来覆盖范数的球，这样，如果围绕它们的质心按因子2缩放，每个凸体都包含在范数球的\（1+\ε）\）缩放的同位体中？我们为这个提供了上限（（2，epsilon））-封面号码通过利用平滑模数\（\ell_p\）-球的。应用覆盖方案，我们可以通过改进的运行时间将CVP的任何2-近似算法提升为（1+\epsilon）-近似算法，无论是使用直接的采样例程还是使用Dadush的确定性算法来构造epsilon-网。其次，我们考虑多面体范数和分区范数。对于具有面（O（n）的（mathbb{R}^n）中的中心对称多面体（resp.zonotopes），我们提供了一个确定的（O（log_2（2+1/\epsilon））^{O（n}）时间算法。这推广了Eisenbrand等人的结果，该结果适用于（ell_infty）-范数。最后，我们在平滑模数和晶格稀疏化因此，使用Dadush、Kun、Peikert和Vempala开发的枚举和稀疏化工具，我们提出了一种简单的方法来替代boosting过程，同时对\（\ell_p\）范数具有相同的时间和空间要求。这种联系可能会引起独立的兴趣。

引用于1文件

MSC公司：

90立方厘米 整数编程
52C07型 （n）维的晶格和凸体（离散几何的方面）
68周25 近似算法
65年第68季度 算法和问题复杂性分析
68单位05 计算机图形；计算几何（数字和算法方面）

关键词：

最近向量问题;平滑模数;点阵稀疏化;（d）维空间中的凸体;近似

引文：

Zbl 1362.68291号;Zbl 1283.68358号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Naszódi}和\textit{M.Venzin}，离散计算。地理。67，第4号，1191--1210（2022；Zbl 1492.90090）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Abdelkader，A.，Mount，D.M.：近似凸体的经济Delone集。摘自：第16届斯堪的纳维亚算法理论研讨会（Malmö2018）。莱布尼茨国际信息学学报，第101卷，第4期。莱布尼兹·赞特。通知。，Wadern（2018）·Zbl 1477.68452号
[2] Aggarwal，D.，Dadush，D.，Stephens-Davidowitz，N.：在离散高斯再次罢工的时间内解决最近向量问题！在：第56届计算机科学基础年度研讨会（伯克利2015），第563-582页。IEEE，洛斯阿拉米托斯（2015）
[3] Aggarwal，D.，Mukhopadhyay，P.：无限范数中最短向量问题和最接近向量问题的改进算法（2018）。arXiv:1801.02358号
[4] 阿加瓦尔，D.，斯蒂芬·达维多维茨，N.：取平均值！SVP（和CVP）的一个非常简单的时间算法。摘自：第一届算法简单性研讨会（2018年新奥尔良）。信息学中的OpenAccess系列，第61卷，#12。莱布尼兹·赞特。通知。，瓦德恩（2018）·Zbl 1433.68474号
[5] Ajtai，M.，Kumar，R.，Sivakumar，D.：最短格向量问题的筛算法。摘自：第33届ACM计算机理论年度研讨会（Hersonissos 2001），第601-610页。ACM，纽约（2001）·Zbl 1323.68561号
[6] Ajtai，M.，Kumar，R.，Sivakumar，D.：采样短格向量和最近格向量问题。摘自：第17届计算复杂性年会（2002年蒙特利尔），第53-57页。IEEE，洛斯阿拉米托斯（2002）
[7] Arora，S.：近似问题证明和硬度的概率检验。加州大学伯克利分校博士论文（1994年）
[8] Arya，S。；广东省丰塞卡市；Mount，DM，关于近似多面体的组合复杂性，离散计算。地理。，58, 4, 849-870 (2017) ·Zbl 1381.52031号 ·doi:10.1007/s00454-016-9856-5
[9] J·Bömer。；Naewe，S.，《最短向量、最近向量和连续最小值的采样方法》，Theor。计算。科学。，410, 18, 1648-1665 (2009) ·Zbl 1220.68057号 ·doi:10.1016/j.tcs.2008.12.045
[10] Böröczky，K.Jr.，Wintsche，G.：用等球覆盖球体。In：离散和计算几何。算法与组合数学，第25卷，第235-251页。柏林施普林格出版社（2003）·Zbl 1077.52513号
[11] Dadush，D.：近似整数规划的A（O（1/ε^2）^n）时间筛选算法。摘自：第十届拉丁美洲理论信息学研讨会（2012年阿雷基帕）。计算机科学课堂讲稿，第7256卷，第207-218页。斯普林格，海德堡（2012）·兹比尔1353.68298
[12] Dadush，D.：任何范数下的（epsilon）-网的确定性多项式空间构造（2013）。arXiv公司：1311.6671
[13] Dadush，D.，Kun，G.：格稀疏和近似最近向量问题。理论计算。12, # 2 (2016) ·Zbl 1362.68291号
[14] Dadush，D.，Peikert，Ch.，Vempala，S.：通过M-椭球覆盖在任何范数下的枚举格算法。摘自：第52届计算机科学基础年度研讨会（棕榈泉2011），第580-589页。IEEE，洛斯阿拉米托斯（2011）·兹比尔1292.68091
[15] 迪努尔，I。；Kindler，G。；Raz，R。；Safra，S.，《将CVP近似到近似多项式因子内》，NP-hard，Combinatorica，23，2，205-243（2003）·Zbl 1049.68072号 ·doi:10.1007/s00493-003-0019-y
[16] 戴尔，M。；弗里兹，A。；Kannan，R.，用于近似凸体体积的随机多项式时间算法，J.Assoc.Compute。机器。，38, 1, 1-17 (1991) ·Zbl 0799.68107号 ·数字对象标识代码：10.1145/102782.102783
[17] Eisenbrand，F.，Hähnle，N.，Niemeier，M.：覆盖立方体和最近向量问题。摘自：第27届计算几何研讨会（2011年巴黎），第417-423页。ACM，纽约（2011）·兹比尔1283.68358
[18] van Emde Boas，P.：另一个NP-完全问题和计算格中短向量的复杂性。技术报告81-04。阿姆斯特丹大学数学研究所（1981年）。https://www.staff.fnwi.uva.nl/p.vanemdeboas/vectors/abstract.html
[19] Grötschel，M.，Lovász，L.，Schrijver，A.：几何算法和组合优化。算法与组合数学，第2卷。柏林施普林格（1988）·Zbl 0634.05001号
[20] Hunkenschröder，Ch.，Reuland，G.，Schymura，M.：关于格的Voronoi细胞的紧凑表示。In：整数规划和组合优化（Ann Arbor 2019）。计算机科学课堂讲稿，第11480卷，第261-274页。查姆斯普林格（2019）·Zbl 1436.90085号
[21] Kannan，R.，Minkowski的凸体定理和整数规划，数学。操作。研究，12，3，415-440（1987）·Zbl 0639.90069号 ·doi:10.1287/门12.3.415
[22] Lenstra，H.W.Jr.：变量数量固定的整数编程。数学。操作。第8（4）号决议，538-548（1983）·Zbl 0524.90067号
[23] Lindenstrauss，J.，《关于Banach空间中的光滑模和发散级数》，密歇根州数学。J.，10，241-252（1963）·Zbl 0115.10001号 ·doi:10.1307/mmj/1028998906
[24] 马提尼，H。；斯旺佩尔，KJ；Weiß，G.，《闵可夫斯基空间的几何学——一项调查》。I、 曝光。数学。，19, 2, 97-142 (2001) ·Zbl 0984.52004号 ·doi:10.1016/S0723-0869（01）80025-6
[25] Micciancio，D.，Voulgaris，P.：基于Voronoi细胞计算的大多数晶格问题的确定性单指数时间算法。摘自：第42届ACM计算机理论年会（剑桥，2010），第351-358页。ACM，纽约（2010年）·Zbl 1293.68172号
[26] VD米尔曼；Pajor，A.，非对称凸体的熵和渐近几何，高等数学。，152, 2, 314-335 (2000) ·Zbl 0974.52004号 ·doi:10.1006/aima.1999.1903
[27] Mukhopadhyay，P.：\（\ell_P\）范数格上最短向量问题和最近向量问题的更快可证明筛选算法。算法14（12），#362（2021）
[28] Rademacher，L.：近似质心很难。摘自：第23届计算几何年度研讨会（庆州，2007年），第302-305页。ACM，纽约（2007）·Zbl 1221.68095号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。