尤里·萨波里托。;张兆宇 路径依赖型深Galerkin方法:一种求解路径依赖型偏微分方程的神经网络方法。 (英语) Zbl 1471.91621号 SIAM J.财务。数学。 12,编号3,912-940(2021). 摘要:本文提出了一种求解路径相关偏微分方程(PPDE)的新的数值方法。这些方程最初出现在[B.Dupire,数量。财务,2019(2009),第721-729]页,其中开发了函数Itôcalculation来处理路径依赖的金融衍生品。更具体地说,我们推广了[J.Sirignano和K.Spiliopoulos的深Galerkin方法(DGM),J.计算。物理学。,375(2018),第1339-1364页]处理这些方程。这种方法,我们称之为路径依赖DGM,包括使用前馈和长-短期内存体系结构的组合来建模PPDE的解决方案。然后,我们分析了几个数值示例,其中许多来自金融数学文献,这些示例显示了该方法在不同情况下的能力。 引用于2文件 MSC公司: 91G60型 数值方法(包括蒙特卡罗方法) 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 关键词:函数式Itô微积分;路径依赖型偏微分方程;神经网络;长短期记忆;深伽辽金法 软件:DGM公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.F.Saporito}和\textit{Z.Zhang},SIAM J.Financ。数学。12,编号3,912--940(2021;Zbl 1471.91621) 全文: 内政部 arXiv公司 参考文献: [1] A.Al-Aradi、A.Correia和Y.F.S.D.Naiff、G.Jardim,《深伽辽金方法在解部分积分微分方程和Hamilton-Jacobi-Bellman方程中的应用》,预印本,https://arxiv.org/abs/1912.01455, (2019). [2] Y.Bengio、P.Simard和P.Frasconi,学习梯度下降的长期依赖性很困难,IEEE Trans。神经网络。,5(1994年),第157-166页。 [3] R.Cont和D.-A.Fournie∧,路径空间上非预期泛函的变量公式变化,J.Funct。分析。,259(2010),第1043-1072页·Zbl 1201.60051号 [4] B.Dupire,函数伊藤演算,Quant。《金融》,2019年(2009年),第721-729页·Zbl 1420.91458号 [5] W.E、J.Han和A.Jentzen,基于深度学习的高维抛物型偏微分方程和倒向随机微分方程数值方法,Commun。数学。《统计》,第5卷(2017年),第349-380页·兹比尔1382.65016 [6] W.E、J.Han和A.Jentzen,使用深度学习求解高维偏微分方程,Proc。国家。阿卡德。科学。美国,115(2018),第8505-8510页·Zbl 1416.35137号 [7] I.Ekren、C.Keller、N.Touzi和J.Zhang,《路径依赖型偏微分方程的粘度解》,Ann.Probab。,42(2014),第204-236页·Zbl 1320.35154号 [8] I.Ekren,N.Touzi和J.Zhang,完全非线性抛物线路径依赖型偏微分方程的粘度解:第一部分,Ann.Probab。,44(2016),第1212-1253页·Zbl 1375.35250号 [9] I.Ekren,N.Touzi和J.Zhang,完全非线性抛物线路径依赖型偏微分方程的粘度解:第二部分,Ann.Probab。,44(2016),第2507-2553页·兹比尔1394.35228 [10] F.Flandoli和G.Zanco,路径相关Kolmogorov方程的无限维方法,Ann.Probab。,44(2016),第2643-2693页·Zbl 1356.60101号 [11] J.-P.Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Sölna,《股权、利率和信用衍生品的多尺度随机波动》,剑桥大学出版社,剑桥,2011年·兹比尔1248.91003 [12] J.-P.Fouque和Z.Z.Zhang,带延迟的平均场控制问题的深度学习方法,前沿。申请。数学。《统计》,第6卷(2020年),第11页。 [13] E.Gobet,屏障和相关奇异选项的高级蒙特卡罗方法,Handb。数字。分析。第15卷,A.Bensoussan,Q.Zhang和P.Ciarlet编辑,Elsevier,阿姆斯特丹,2009年,第497-528页·Zbl 1180.91306号 [14] S.Hochreiter和J.Schmidhuber,长短期记忆,神经计算。,9(1997),第1735-1780页。 [15] A.Jacquier和M.Oumgari,仿射粗糙挥发性的深曲线依赖PDE,预印本,https://arxiv.org/abs/1906.02551 (2019). [16] S.Jazaerli和Y.F.Saporito,函数伊藤演算,路径依赖和希腊人的计算,随机过程。申请。,127(2017),第3997-4028页·Zbl 1377.60065号 [17] I.E.Lagaris、A.Likas和D.I.Fotiadis,求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络,IEEE Trans。神经网络。,9(1998年),第987-1000页。 [18] H.Lee和I.S.Kang,求解微分方程的神经算法,J.Compute。物理。,91(1990),第110-131页,https://doi.org/10.1016/0021-9991(90)90007-编号·Zbl 0717.65062号 [19] H.Oberhauser,连续半鞅测度族下的泛函Ito公式,Stoch。动态。,16 (2016), 1650010. ·兹比尔1339.60066 [20] D.R.Parisi、M.C.Mariani和M.A.Laborde,用无监督神经网络求解微分方程,化学。工程流程。,42(2003),第715-721页,https://doi.org/10.1016/S0255-2701(02)00207-6. [21] Pham和J.Zhang,弱形式的二人零和博弈与路径依赖Bellman-Isaacs方程,SIAM J.控制优化。,52(2014),第2090-2121页·Zbl 1308.91029号 [22] R.G.Pinsky,《正调和函数与扩散》,剑桥大学出版社,纽约,1995年·Zbl 0858.31001号 [23] M.Raissi、P.Perdikaris和G.E.Karniadakis,《以物理为基础的神经网络:解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架》,J.Compute。物理。,378(2019),第686-707页·Zbl 1415.68175号 [24] E.Reiner和M.Rubinstein,《打破障碍》,《风险杂志》,第4期(1991年),第28-35页。 [25] Ren和X.Tan,关于路径相关偏微分方程单调格式的收敛性,随机过程。申请。,127(2017),第1738-1762页·Zbl 1377.65077号 [26] L.Rogers和D.Williams,《微分、马尔可夫过程和鞅》,第二版,剑桥数学。伦敦银行同业拆借利率。,剑桥大学出版社,剑桥,2000年·兹比尔0949.60003 [27] Y.F.Saporito,控制对动力学和运行成本具有路径依赖影响的随机控制和微分对策,SIAM J.control Optim。,57(2019),第1312-1327页·Zbl 1415.93295号 [28] J.Sirignano和K.Spiliopoulos,DGM:解偏微分方程的深度学习算法,J.Compute。物理。,375(2018),第1339-1364页·Zbl 1416.65394号 [29] F.Viens和J.Zhang,分数布朗运动和相关路径依赖PDE的鞅方法,附录。概率。,29(2019),第3489-3540页·Zbl 1441.60031号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。