李，米克扬；好的，Jihoon 基于大（M）不等式原理的完全非线性方程的Hessian估计。 （英语） Zbl 1473.35230号 数学杂志。分析。申请。 501，第1号，文章ID 123953，30页（2021）. 作者考虑了完全非线性的椭圆方程\（F（D^{2} u个，x）=f（x））在（mathbb{R}^{n}）（（n\geq2\））的开放子集（\Omega\）中提出\（F:S\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}）被假定满足一致椭圆性：（nu\times\ Omega\ rightarrow \ Vert\leq F（X+Y，X）-F（X，X）\leq\Lambda\ left\VertY\ right\Vert）a.e，以及其他假设。本文的目的是证明该问题粘性解的局部（W^{2，p}）估计。作者在这里使用了一个由E.Acerbi公司和G.明吉恩《杜克数学杂志》第136卷第2期第285–320页（2007年；Zbl 1113.35105号)]他们通过洛杉矶卡法雷利《数学年鉴》（2）130，第1期，189-213（1989；Zbl 0692.35017号)]. 他们还利用变指数空间中粘度解的加权Hessian估计完成了这一结果，假设（F）是渐近凸的。他们首先将（L^{q}）-粘度溶液（（q>n/2））的概念定义为一个连续函数，这样，如果（F（D^{2}\varphi（x），x）-F（x x\in\mathcal{O}\）是\（\Omega\）和\（\epsilon>0\）的开放子集，则\（u-\varphi\）在\（\mathcal{O}\）中不能有局部最小值。这里作者假设（F）在（X）中是连续的，在（X）中是可测的，在L_{mathrm{loc}}^{q}（Omega）中是（F）。他们引入了与（F）相关的衰退函数（F^{ast}），变量指数（p（cdot））满足（n<p_{Omega}^{-}=inf_{x\in\Omega{p（x）\leq\sup_{x\ in\Omega}p（x \right\vert）\）用于\（x，y\ in \Omega\）其中，\（\theta:[0，+\infty）\rightarrow\lbrack 0，+\infty）\）是一个非退化连续函数，对于每个\（\rho\in（0,1）\）和一些正常数\（c｛p（\cdot）｝\），\（\theta（0）=0）和\（\theta（\rho）\log（1/\rho）\leq c｛p（\cdot）｝\）。他们还引入了权重\（w\）的Muckenhoupt类\（a_｛p（\cdot）｝\）在这个可变指数框架内。主要结果假设（F^{ast}（X，X））存在，并且^{2} v（v），x{0}）=0\）对Omega\中的任何\（x_{0}\）具有常数\（C_{ast}\）的\（C^{1,1}\）内部估计。然后存在\（\β_｛0｝\），这仅取决于数据，使得如果\（f\在L_｛w，\mathrm｛loc｝｝^｛p（\cdot）｝（\Omega）\）和\（\sup_｛B_｛r｝（x_｛0｝）\子集\欧米茄｝\frac｛1｝｛\left \ vert B_｛r｝（x_｛0｝）\ right \ vert｝\int_｛B_ r｝（x_｛0｝）｝\β_｛f^｛\ast｝｝（x，x_｛0｝）^{n} dx公司\问题的任意（L^{n}）-粘度解满足（D^{2} u个\在L_{w，\mathrm{loc}}^{p（\cdot）}（\Omega）\）中。这里\（beta_{F^{\ast}}（x，x_{0}）=\sup_{x\在S\setminus\{0\}}\frac{\left\vertF^{\st}（x，x）-F^{\asp}（x,x_{0}）\right\vert}{\left \VertX\right\ vert}\）。此外，作者证明了关于（左）顶点D的估计^{2} 单位\right\Vert_{L_{w，\mathrm{loc}}^{p（.）}（B_{rho}）}）假设关于\（\rho\）的进一步假设。为了证明这一点，作者证明了Muckenhoupt类的性质，特别是在可变指数的上下文中。他们将开口为（m）的凹抛物面定义为（P（x）=l_{0}+l（x）-\frac{m}{2}\left\vertx\right\vert^{2}），其中，（l）是线性函数，如果（m）被替换为（-m），则开口为（m\）的凸抛物面。对于任何连续函数（g:U\rightarrow\mathbb{R}），其中（U）是（mathbb}R}^{n}）的一个开的有界子集，它们定义了（下划线{mathcal{g}}{m}（g，U）={x{0}\在U:\）存在一个开口为（m\）的凹抛物面g（x）\）在\（U \}\）中。他们在前面的定义中定义了用凸替换凹的（上划线{mathcal{G}}_{m}（G，U）。他们最终定义了函数\（Theta（g，U）=\sup\{underline{\Theta}（g，U）（x），上划线{\Theta}（g，U）（x：x\in\上划线{\mathcal{g}}_{m}（g，U）\}\）。它们建立了\（\ Theta \）的属性。证明的主要部分是用\（Theta）上的标度证明估计。作者总结了他们的论文，用他们的方法证明了卡法雷利的结果。审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆） 引用于2文件 MSC公司： 35J60型 非线性椭圆方程 42B37型 谐波分析和偏微分方程 46E30型 可测函数空间（L^p－空间、Orlicz空间、Köthe函数空间、Lorentz空间、重排不变空间、理想空间等） 关键词：完全非线性方程；粘度溶液；黑森估计；可变指数空间；Muckenhoupt重量 引文：Zbl 1113.35105号；Zbl 0692.35017号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Lee}和\textit{J.Ok}，J.Math。分析。申请。501，第1号，文章ID 123953，30页（2021；Zbl 1473.35230） 全文： 内政部 参考文献： [1] Acerbi，E。；Mingione，G.，《（p（x））-拉普拉斯体系的梯度估计》，J.Reine Angew。数学。，584, 117-148 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