哥德尔，K。 这是一个正式的未经审查的数学原理与系统。一、。 （德语） JFM 57.0054.02号 Monatsheft f.数学。 38, 173-198 (1931). Diese bedetungsvolle Arbeit leitet Tatsachen her，die für axiomatisete mathematische Systeme und speziell für-den metamamatischen Standpunkt grundlegend sind。Ausgangspunkt是一个形式化的系统，是一个人的死亡皮亚诺schen Axiome mit der Logik der“Principia Mathematica”überbaut（natürtürliche Zahlen als Individuen）和事件风险定义人Klasse von Axiomen hinzufügt，vorausgesetzt，daßbei eine gewisse Widerspruchsfreiheitsbeding erfüllt bleibt。在diesen noch中，erweiterbaren Bereich跌入了“数学原理”（einschließlich des Auswahlaxioms für alle Typen）和die皮亚诺sche算术samt einem bestimmten Schema der rekursiven Definition，sondern z.B.auch die von阿克曼und（单位）冯·诺依曼Herührenden公理系统分析和公理化专家Mengenlehre nach泽梅洛·弗伦克尔顺序nach冯·诺依曼Das Hauptergebnis ist，jedem solchen系统中的数据unnetscheidbare Sätze gibt，und zwar sogar unnetscheidsbare arithmetische Sátze，wobei“算术”die Beschränkung auf加法和乘法natürlicher Zahlen sowie die logischen Konstanten“oder”，“nicht”，“alle”，“identisch”（die beiden letzteren auf natürliche Zahlen bezogen）ausdrückt。埃本索嘲讽了“engeren Funktitonenkalküls”的无休止的问题（im Sinne der theoretischen Logik von希尔伯特-阿克曼). Ersetzt man die vorausgesetzte engere Widerspruchsfreiheit durch Widerspurchsfrei heit schlechthin，所以这就是Stelle eines unetschiedbaren Satzes eine Eigenschaft，在Gegenbeispiel angebbar-noch die durchängige Erfülllite beeisbar ist。在Hauptsache auf einer Numerierung Der Formelzeichen des formalen Systems中的Der Beweis beruht，在eine endliche Folge natürlicher Zahlen中的wodurch eine Formel，在eine-endliche Folge solcher Folgenübergeht中的eine Beweisfigur。Damit werden die metamathematischen Begriffe bzw公司。苏祖贝格里芬。Sätzenüber Folgen natürlicher Zahlen und daher在形式系统符号中；das gilt z.B.auch für den Satz：“（v）is eine beweisbare Formel”。Von hier aus geling die Herstellung eines unletscheidbaren Satzes auf eine艺术，die der理查德schen Antinomie模拟作家。Der auf solche Art erhaltene Satz，Der seine eigene Unbeweisbarkeit behaupset（und daher metamamatisch richtigist，nicht aber im System），《艺术》杂志，《艺术之声》，《Zirkelhaftes》。Aus dem Hauptergebnis folgt weiter die Unmöglichkeit，死宽普氏温度eines solchen formalen Systems（元数学）zu beweisen mit Hilfe von Schlußweisen，die in dem System formalister sind（um so mehr mit den，wieüblich，weiter eingeschränkten Schlu weison）。温恩也很热情希尔伯特有限Widerspruchsfreiheits beeise geben sollt，所以müßten sie在dem betreffenden系统sich nicht darstellen lassen中。审核人：Fraenkel，A.，教授（耶路撒冷） 引用于9评论 JFM部分：埃尔斯特·哈尔班德（Erster Halbband）。埃尔斯特·阿布什尼特。Geschichte，《哲学与帕达戈基克》。Kapitel 2。哲学。 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \文本{K.哥德尔}，莫纳什。数学。物理。38、173--198（1931年；JFM 57.0054.02） 全文： 内政部 参考文献： [1] A.Whitehead和B.Russell，数学原理，2。澳大利亚。，剑桥1925年。Zu den Axiomen des Systems PM rechnen wir insbesondere auch:Das Unendlichkeits axiom（形式：es gibt genau abzählbar viele Individuen），Das Reduzibilitäts-und Das Auswahlaxiom（für alle Typen）。 [2] Vgl公司。A.Fraenkel，Zehn Vorlesungenüber die Grundlegung der Mengenlehre，Wissensch。u.液压。Bd.XXXI。J.v.Neumann，Mengenlehre公理化。数学。Zeitschr公司。27, 1928. 行程。f.reine u.angew公司。数学。154 (1925), 160 (1929). Wir bemerken，daßman zu den in der angeführten Literatur gegebenen mengentheoretischen Axiomen noch die Axiome und Schlu regeln des Logikkalküls hinzufügen mu，um die Formalisierung zu vollendenDie nachfolgenden u berlegungen gelten auch für Die in den letzten Jahren von D.Hilbert und seinen Mitarbeitern aufgestelten formalen Systeme（soweit diese bisher vorliegen）。Vgl公司。D.Hilbert，数学。Ann.88，Abh.aus d.math。汉堡大学Sem.der Univ.Hamburg I（1922），VI（1928）。P.Bernays，数学。年90。J.v.Neumann，数学。Zeitschr公司。第26页（1927年）。W.Ackermann，数学。年93。 [3] Dabei werden在PM nur solche Axiome als verschieden gezählt，die aus einander nicht bloßdurch Typenwechsel entstehen。 [4] Wir verstehen hier und im folgenden unter“Formel aus PM”immer eine ohne Abkürzungen（d.h.ohne verwendung von Definitionen）geschriebene Formel公司。定义：dienen ja nur der kürzeren Schreibweise und sind daher prinzipiellüberflüssig。 [5] D.h.wir bilden die Grundzeichen in eineindeutiger Weise auf natürliche Zahlen ab.（Vgl.die Durchführung auf S.179.） [6] D.h.eine Belegung eines Abschnittes der Zahlenreihe mit natürlichen Zahlen博士。（Zahlen können不在räumliche Anordnung gebracht werden。） [7] m.a.W.：Das oben beschriebene Verfahren liefert ein同构Bild des Systems PM im Bereich der Arithmetik und man kann alle metamathematischenüberlegungen ebenso gut and diesem同构Bill d vornehmen。Dies geschieht in der folgenden Beweisskizze，d.h.unter“Formel”，“Satz”，“Variable”等，紧随其后。 [8] Es wäre sehr leicht（nur etwas umständlich），diese Formel tatsächlich hinzuschreiben。 [9] Etwa nach技术勘误表Gliedersumme und bei gleicher Summe lexikographisch。 [10] DurchÜberstreichen负责否定。 [11] Es macht wieder nicht die geringsten Schwierigkeiten，die FormelS tatsächlich hinzuschreiben。 [12] 人类比希特，“[R（q）；q]”（order was dasselbe bedeutet”[S；q]“）bloßeine metamatomatische Beschreibung des unnetscheidbaren Satzes ist。Doch kann man，sobald man die FormelS ermittelt hat，natürlich auch die Zahlq bestimmen und damit den unentscheidbaren Satz selbst effektiv hinschreiben Doch kanne man，sobald man dee FormelS ermittel hat，natüllich auch dee Zahl。 [13] Es lät sichüberhaupt jede认识论Antinomie zu einem derartigen Unentscheidbarkeitsbeweis verwenden。 [14] Ein solcher Satz hat entgegen dem Anschein nichts Zirkelhaftes an sich，den er behaupett zunächst die Unbeweisbarkeit einer ganz bestimmten Formel（《词汇词典》中的nämlich derq-ten），und erst nachträglich（gewissermaßen zufällig）stell sich heraus，da's diese Formel gerade die ist，在德尔·埃尔布斯特·奥斯格德吕克特·伍尔德。 [15] Die Hinzufügung der Peanoschen Axime ebenso wie alle anderen am System项目经理angebrachten Abänderungen dienen lediglich zur Vereinfachung des Beweises und sind prinzifiell entbehrlich。 [16] Es wird vorausgesetzt，daßr jeden Variablentypus abzählbar viele Zeichen zur Verfügung stehen。 [17] Auch uniformal Relationen können auf diese Weise definitiert werden，z.B.eine Relation zwischen Individuen und Klassen als eine Klasse aus Elementen der Form:（（x 2），（（x 1），x 2））。贝叶斯巴伦·萨泽·辛德（beweisbaren Sätze sind）总理阿莱·伊恩·埃因法赫·贝雷根（wie eine einfache u berlegung lehrt），贝汉德隆斯韦斯·贝叶斯巴（auch bei dieser Behandungsweise beweisbar）。 [18] xII（a）也是auch dann eine Formel，wennx ina nicht order nicht frei vorkommt。在diesem Fall bedeutetxII（a）natürlich dasselbe wiea中。 [19] 贝兹。dieser定义（und analoger später vorkommender）vgl。J.Łukasiewicz und A.Tarski，Untersuchungenüber den Aussagenkalkül，《社会科学与Varsovie信件汇编》第二十三卷，1930年，第三卷。 [20] x 1=y 1 is，wie in PM I，*13 durchx 2II（x 2（x 1）2（y 1））定义者zu denken（ebenso für die höheren Typen）。 [21] Um aus den angeschriebenen Schemata die Axiome zu erhalten，mußman also（在II、III、IV nach ausührung der erlaubten Einsetzungen中）noch 1。die Abkürzungen eliminieren，2岁。死后克腾·克拉默恩·欣祖夫·根（die unterdrückten Klammern hinzufügen）。人在海滩上，就这样死去，奥德鲁克“Formeln”在obigem Sinn sein mussen。（Vgl.auch die exakten Definitionen der metamathem.贝格里夫S.182 fg.） [22] 它还包含了Zeichen der Formf中的变量顺序。。。如果是，请输入O order eine变量1。打字。贝兹。des Begriffs“frei（gebunden）an einer Stelle vona”vgl。死在芙蓉花上。 [23] Die Einsetzungsregel wird dadurchüberflüssig，daßwir alle möglichen Einsetzzungen beriets in den Axiomen selbst vorgenomen haben（模拟bei j.v.Neumann，Zur Hilbertschen Beweistheorie，Math.Zeitschr.261927）。 [24] D.h.ihr定义是Klasse der nicht negative ganzen Zahlen（bzw.dern-tupel von solchen）和Werte sind nicht nemotive ganze Zhalen。 [25] Kleine lateinische Buchstaben（ev.mit Indizes）sind im folgenden immer Variable für nicht negative ganze Zahlen（falls nicht ausdrücklich das Gegeuteil bemerkt ist）。 [26] Klassen rechner wir mit zu den Relationen（关系）。Rekursive RelationenR haben natürlich die Eigenschaft，daßr jedes spezielle Zahlen-n-tupel entscheiden kann，obR（x 1…x n）gilt order nicht。 [27] Für alle inhallichen（在超数学中）Überlegungen与Hilbertsche Symbolik verwendet合作。Vgl公司。Hilbert-Ackermann，Grundzüge der theoretischen Logik，柏林，1928年。 [28] Wir setzen als bekannt voraus，daßdie Funktionenx+y（加法），x，y（乘法）rekursiv sind。 [29] Andere Werte als 0 und 1 kanna，wie aus der Definition für{\（\alpha\）}ersichtlich ist，nicht annehmen（安德烈·韦特·als 0和1假名）。 [30] 《时代》杂志在《定义》杂志上发表了一篇文章，也在《定义》杂志上发表了一篇文章。 [31] 尤贝拉尔，wo in den folgenden Definitionen eines der Zeichen（x），（Ex），{\（\epsilon\）}x auftritt，is es von einer Abschätzung fürx gefolgt。Diese Abschätzung dient lediglich dazu，um die rekursive Natur des definierten Begriffs（vgl.Satz IV）zu sichern。乌方定义的Dagegen würde sich der Umfang der definiierten Begriffe durch Weglasung dieser Abschätzung meistens nichtändern。 [32] Für 0<n，wennz die Anzahl der verschiedenen inx aufgehenden Primzahlen ist。伙计们，达芙蓉=z+1nPx=0ist！ [33] m、 n steht für:m&n（ebenso für mehr als 2变量）。 [34] DieVariablen u 1…u n können willkürlich vorgegeben werden。Es gibt z.B.immer einr mit denfrein Variablen 17、19、23…usw.公司。，für welches（3）和（4）镀金。 [35] Satz V beruht natürlich darauf，daßbei einer rekursiven RelationR für jedesn tupel von Zahlen aus den Axiomen des Systems P entscheidbar ist，ob die RelationR best order nicht。 [36] Daraus folgt sof ort seine Geltung für jede rekursive Relation，dae eine solche gleichbedeutend ist mit 0=（x 1…x n），wo rekursiv ist。 [37] Bei der genauen Durchführung dieses Beweises wird natürlichr nicht auf dem Umwegüber die in altliche Deutung，sondern durch seine re-formale Beschafenheit定义者。 [38] Welches还有inhaltlich gedeutet，das Bestehen dieser Relation ausdrückt。 [39] r entsteht ja aus dem rekursiven Relationszeichen q durch Ersetzen einerVariablen durch eine bestimmte Zahl（p）。 [40] 通用汽车公司首席运营官，Sb sind natürlich immer vertauschbar，因变量beziehen的变化而下降。 [41] x istz-beeisbar，soll-bedeuten:x{\（\epsilon\）}-Flg（{\（\ kappa\）}），是nach（7）dasselbe-besagt wie:Bew{\（\tkappa\）}（x）。 [42] Denn alle im Beweise vorkommenden Existitialbehauptungen beruhen auf Satz V，der，wie leicht zu sehen，直觉主义者。 [43] Die Existencez widerspruchsfreier und nicht{\（\omega\）}-widerspurchsfreiter{\（\ kappa\）}is damit natürlich nur unter der Voraussetzung bewiesen，daßesüberhaupt widerspurachsfreie{\（\skappa\）}gibt（d.h.da \223；P widersprochsfrei st）。 [44] Der Beweis von Voraussetzung 1号。《格式塔》（gestaltet sich hier sogar einfacher als im Falle des SystemsP），《德国艺术》（da es nure Art von Grundvariablen gibt）（bzw.zwei bei J.v.Neumann）。 [45] Vgl公司。D.Hilberts Vortrag中的问题III：数学问题。数学。安102。 [46] 德瓦赫·格伦德·富尔（Der wahre Grund für die Unvollständigkeit），韦尔切·阿伦·福马伦（welche allen formalen）。Mathematik anhaftet系统，liegt，wie im II。Teil dieser Abhandlung gezeigt werden wird，darin，daßdie Bildung immer höherer Typen sich in Transfinited fortsetzen lät。（Vgl.D.Hilbert，《Unendliche大学数学年鉴》，第95卷，第184页），《jedem formalen System höchstens abzählbar viele vorhanden sind》中的瓦伦德。Man kannämlich zeigen，da'die hier aufgestelletten unletscheidbaren Sätze durch Adjunkation passender höherer Typen（z.B.des Typus{\（\omega\）}zum SystemP）immer entscheidbar werden。类似于蒙根勒赫勒的公理体系。 [47] 在国家Zahlen gerechnet之前，我会立即离开。 [48] Das Definiens eines solchen Begriffes mußsich还包括allein mittels der angeführten Zeichen、Variablen für natürlichen Zahlenx、y，。。。und den Zeichen 0，1 aufbauen（Funktions-und Mengenvariable dürfen nicht vorkommen）。（在Präfixen darf stattx natürlich auch jede and re Zahlvariable stehen中。） [49] f bedeutet hier eine Variable，deren Wertbereich die Folgen natürl。扎伦·辛德。Mitf k wird dask+1-te Glied einer Folgef bezeichnet（Mitf o das erste）。 [50] Das sind diejenigen{\（\omega\）}-widerspruchsfreien Systeme，welche ausP durch Hinzufügung einer rekursiv defineier baren Klasse von Axiomen entstehen。 [51] Vgl。Hilbert-Ackermann，Grundzüge der theoretischen Logik。Im SystemP sind unter Formeln des engeren Funktitenkalküls diejenigen zu verstehen，welche aus den Formeln de engeren funktitenkaüls der PM durch die auf S.176 angeduetee Ersetzung der Relationen durch Klassen höheren Typs entstehen。 [52] 在梅纳·阿尔贝特：莫纳什的阿希奥米德·沃尔斯塔德·德·瓦尔斯·德克盖特（Die Vollständigkeit der Axiome des logischen funktitonenkalküls）。f.数学。u.物理。三十七、 2，habe ich gezeigt，daßjede Formel des engeren Funktitonenkalküls entweder als allgemeingültig nachweisbar ist order ein Gegenbeispiel existiert；Existencez dieses Gegenbeispiels is aber nach Satz IX nicht immer nachweisbar（in den angeführten formalen Systemen）。 [53] D.Hilbert und W.Ackermann rechnen in dem eben zitierten Buch das Zeichen=nicht zum engeren Funktitonenkalkül.希尔伯特和艾克曼•雷根。Es gibt aber zu jeder Formel，in der das Zeichen=vorkommt，eine solche ohne dieses Zeichen，die mit der ursprünglichen gleichzeitig erfüllbar ist（vgl.die in Fußnote55）zitierte Arbeit）。 [54] Und zwar soll der Definitionsbereich immer der ganze Individuenbereich sein。 [55] 变量滴头器Art dürfen dabei an allen Leerstellen für Individuenvariable stehen，z.B.：y={\（\phi\）}（x），f（x，{\（\ phi\）{。 [56] D.h.死亡Konjunktion bildet。 [57] Aus Satz X folgt z.B.，《费马和哥德巴赫问题》（daßdas Fermatsche und das Goldbachsche Problem lösbar wären），《环境问题》（Entscheidungsproblem des e.F.gelöst hätte）。 [58] Satz IX gilt natürlich auch für das Axiomensystem der Mengenlehre und dessen Erweiterungen durch rekursiv defineirbare{\（\omega\）}-widerspruchsfreie Klassen von Axiomen，da es ja auch in diesen Systemen unmetscheidbare Sätze der Form（x）f（x）（f rekursive）gibt。 [59] {\（\chi\）}ist widerspruchsfrei（abgekürzt als Wid（{\（\ chi\）{）））wird folgendermaßen definitiert:Wid（}）Ex）[形式（x）&Bew{\（\\kappa）}（x）]。 [60] 死于福格特，死于福勒{\（chi\）}。 [61] r hängt natürlich（ebenso wiep）von{\（\kappa\）}实验室。 [62] Von der Definition für“rekursiv”auf Seite 179 bis zum Beweis Von Satz VI inkl。 [63] Daßaus（23）auf die Richtigkeit vonw Imp（17 Genr）geschlossen werden kann，beruht einfach darauf，Da \223；der unletscheidbare Satz 17 Genr，wie gleich zu Anfang bemerkt，seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet。 [64] Vgl公司。J.v.Neumann，Zur Hilbertschen Beweistheorie，数学。Zeitschr公司。26, 1927. 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。