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克莱尔·伯林；马修·伊萨克

无穷多个奇次孪生素多项式。 （英语） Zbl 1486.11151号

美国数学。周一。 128，第10号，929-935（2021）.
设\（p\）为奇素数，\（q\）为\（p\）和\（\mathbb）的幂{F} （_q）\)含有（q）元素的有限域。
假设有无穷多个素数，并且每个奇数素数都与\（1\text{或}3\bmod4\）同余，那么是否有无穷多素数\（p\）使得\（p\equiv1\bmod4\），或者分别是\（p\fequiv3\bmod 4\）？类似地，人们可能会问，是否存在无限多个奇数（分别为偶数）度的双素数对\（（f，f+1）\）？
这个问题在博士论文中得到了肯定的解决P.波拉克[有限域上的素数多项式。新罕布什尔州汉诺威：达特茅斯学院（博士论文）（2008）]。在本文中，作者考虑了一个新的初等结构来覆盖奇数度情况。
通用字段\（\mathbb）已经实现了这一点{F} （_q）\)由C.大厅in[\（L\）-扭曲勒让德曲线的函数。普林斯顿，新泽西州：普林斯顿大学（博士论文）（2003）]。为了涵盖非泛域，本文的作者研究了素域上的不同结构{F} （p）\).
它们的构造起点是多项式\[f（X）=X^p-X-1。\]根据Artin-Schreier定理，（f（X））在（mathbb）上是不可约的{F} （p）\). 因此，如果\（\alpha\）是根，那么\（\mathbb{F} （p）（alpha）是（mathbb）上度的循环Galois扩张{F} （p）\). 因此\（\mathbb{F} （p）（\alpha）\cong\mathbb{F}（F）_{p^p}\）。特别是，\（f）的所有根\（\alpha，\alpha^p，\dots，\alfa^{p^{p-1}}\）都是伽罗瓦共轭，并且在\（\mathbb）中具有相同的乘法顺序{F}（F）_{p^p}^\次\）。多项式（f（X））的阶定义为其在（mathbb）中任意根的乘法阶{F}（F）_{p^p}^\次\）。要检查这个顺序\（e），请观察\[f（0）=-1=\prod_{i=0}^{p-1}（0-\alpha^{p^i}）=（-\alpha）^{1+p+\dots+p^{p1}}=-\ alpha^Q，\]其中\[Q:=1+p+p^2+\dotes+p^1}=\frac{p^p-1}{p-1{p}}。我们从\（Q）的定义直接得到\（Q，2p（p-1））=1\），因此\（e）是奇数，相对而言是质。不太明显的是，（e）阶与贝尔数模（p）的最小周期一致。贝尔数（B（n））是有限组元素的不同分区数。许多问题可以用贝尔数来解释；除此之外，（B（n））计数
●
元素之间等价关系的数量，
●
不同素数乘积分解为互质因子的次数，
●
具有有序循环的元素的置换数。
确定这一最小周期引起了相当多的关注。对于极小素数（p<180），数值计算表明（e=Q）[P.L.蒙哥马利等，数学。计算。79，第271号，1793–1800（2010年；兹伯利1216.11028)].
满足同余方程（b^{ell-1}\equiv1\）（mod（ell^2））的素数（ell），其中（b，ell）=1，称为A基\（b\）中的Wieferich素数这是论文的主要结果。
定理
设（p\）为奇素数。对于每个\（a \ in \ mathbb{F} （p）^\times\），设\（f_a（X）=X^p-X+a\），设\（e\）表示\（f_{-1}（X）\）的阶。对于每个奇数素数除数\（\ ell\mid e \），
1
如果\（\ell\nmid\tfrac{p^p-1}{e}\），则开始{align*}\{（f1（X^{ell^m}），f2（X^}\ell^m{），点，f{p-1}{F} （p）\);
2
如果\（\ell\mid\tfrac{p^p-1}{e}\），那么\（\ ell\）是基\（p\）中的Wieferich素数。
审核人：尼兰加·费尔南多（伍斯特）

MSC公司：

11T55型 有限域上多项式环的算法理论
11B73号 贝尔数和斯特林数

关键词：

孪生素数多项式；Wieferich素数；铃声号码

引文：

Zbl 1216.11028号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Burrin}和\textit{M.Issac}，美国数学。周一。128，编号10，929--935（2021；Zbl 1486.11151）
全文： DOI程序 arXiv公司

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