马丁·鲍尔；尼古拉斯·查龙；菲利普·哈姆斯；谢希伟 弹性曲面匹配、比较和插值的数值框架。 （英语） 兹比尔1483.68425 国际期刊计算。视觉。 129，第8期，2425-2444（2021）. 摘要：曲面比较与匹配是计算机视觉中一个具有挑战性的问题。虽然弹性黎曼度量通过测地线边值问题提供了有意义的形状距离和点对应，但从数值上解决该问题往往很困难。平方根法向场大大简化了参数化曲面之间特定距离的计算。然而，他们还没有解决如何找到最佳重成像的问题，这会在未参数化的表面之间产生相应的距离。这一问题近年来集中了大量努力，并导致了几个数值框架的发展。在本文中，我们采用了一种替代方法，绕过了重新矩阵化的直接估计：我们使用辅助参数化-盲变保真度度量放松测地线边界约束。这种重新制定有几个显著的好处。由于完全避免了重新矩阵化的需要，它提供了处理任意拓扑和采样模式的简单网格的灵活性。此外，该问题有助于实现从粗到细的多分辨率，从而使算法可扩展到大网格。此外，该方法很容易扩展到高阶特征映射，例如平方根曲率场，并且还能够在匹配问题中包括表面纹理。我们通过几个综合和实际的例子来证明这些优势。 引用于2文件 MSC公司： 68T45型 机器视觉和场景理解 65D18天 计算机图形、图像分析和计算几何的数值方面 65D19号 计算机和机器人视觉中的计算问题 关键词：弹性形状分析；曲面；平方根法向场；变体 软件：KeOps公司；L-BFGS公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Bauer}等人，《国际计算杂志》。视觉。129，第8号，2425--2444（2021；Zbl 1483.68425） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Abe，K。；Erbacher，J.，《同一高斯图的等距浸入图》，Mathematicsche Annalen，215，3197-2001（1975）·兹标0288.53042 ·doi:10.1007/BF01343889 [2] Almgren，F.（1966年）。高原的问题：各种几何学的邀请。学生数学图书馆·Zbl 0165.13201号 [3] Arnaudon，M。；Nielsen，F.，《关于近似黎曼1中心》，计算几何，46，1，93-104（2013）·Zbl 1259.65036号 ·doi:10.1016/j.comgeo.2012.04.07 [4] Bauer，M。；危害，P。；Michor，PW，Sobolev曲面形状空间度量，几何力学杂志，3，4，389-438（2011）·Zbl 1262.58004号 ·doi:10.3934/jgm.2011.3.389 [5] Bauer，M。；危害，P。；Michor，PW，n空间超曲面形状空间的几乎局部度量，SIAM成像科学杂志，5，1，244-310（2012）·Zbl 1251.58002号 ·数字对象标识代码：10.1137/100807983 [6] Bauer，M。；布鲁弗斯，M。；Michor，PW，《形状空间和微分同胚群的几何概述》，《数学成像与视觉杂志》，50，1-2，60-97（2014）·Zbl 1310.58005号 ·doi:10.1007/s10851-013-0490-z [7] Bauer，M。；布鲁弗斯，M。；Michor，PW，为什么在曲线空间上使用Sobolev度量，计算机视觉中的黎曼计算，233-255（2016），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 1338.65043号 ·doi:10.1007/978-3-319-22957-7_11 [8] Bauer，M。；布鲁弗斯，M。；查龙，N。；Möller-Andersen，J.，通过Sobolev型黎曼度量进行基于Varifold的曲线匹配，生物医学图像分析中的图形，计算解剖学和成像遗传学，152-163（2017），Cham:Springer，Cham·数字对象标识代码：10.1007/978-3-319-67675-3_14 [9] Bauer，M。；布鲁弗斯，M。；查龙，N。；Möller-Andersen，J.，《用弹性度量进行曲线匹配的宽松方法》，ESAIM:控制、优化和变分计算，25，72（2019）·Zbl 07194611号 [10] Bauer，M。；查龙，N。；Harms，P.，平方根法向场框架下的非精确弹性形状匹配，信息几何科学国际会议，13-20（2019），Cham:Springer，Cham·Zbl 1458.94012号 ·doi:10.1007/978-3-030-26980-72 [11] Bauer，M。；危害，P。；Michor，PW，浸入空间上的分数Sobolev度量，变分法和偏微分方程，59，1-27（2020）·兹比尔1441.58010 ·doi:10.1007/s00526-019-1640-年 [12] Beg，MF；密歇根州米勒；特劳韦，A。；Younes，L.，通过微分同胚的测地流计算大变形度量映射，国际计算机视觉杂志，61，2139-157（2005）·Zbl 1477.68459号 ·doi:10.1023/B:VISI.0000043755.93987.aa [13] Bernal，J.、Dogan，G.和Hagwood，C.R.（2016）。曲线弹性配准的快速动态规划。摘自：计算机视觉和模式识别（CVPR），（第111-118页）。 [14] Bhattacharya，A。；Bhattacharya，R.，流形上的非参数推断：形状空间的应用（2012），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1273.62014年 ·doi:10.1017/CBO9781139094764 [15] Bobenko，A。；施罗德，P。；JM沙利文；Ziegler，GM，离散微分几何（2008），Birkhäuser:Oberwolfach Semin，Birkäuser·Zbl 1132.53004号 ·doi:10.1007/978-3-7643-8621-4 [16] Bruveris，M.，曲线空间上Sobolev度量的完备性，几何力学杂志，7，2，125-150（2015）·Zbl 1328.58007号 ·doi:10.3934/jgm.2015.7.125 [17] Bruveris，M.、Michor，P.W.和Mumford，D.（2014）。浸没平面曲线空间上Sobolev度量的测地完备性。《数学论坛》，西格玛，（第2卷）剑桥大学出版社·Zbl 1315.58009号 [18] 曹，Q。；Thawait，G。；Gang，GJ；Zbijewski，W。；Reigel，T。；Brown，T.，使用静电模型表征三维关节空间形态（应用于骨关节炎），《医学和生物学物理学》，60，3，947-60（2015）·doi:10.1088/0031-9155/60/3/947 [19] Cervera，V。；Mascaró，F。；Michor，PW，微分同态群在浸入空间上的作用，微分几何及其应用，1，4，391-401（1991）·Zbl 0783.58012号 ·doi:10.1016/0926-2245（91）90015-2 [20] B.查理尔。；查龙，N。；Trouvé，A.，《函数形状可变性分析的fshape框架》，《计算数学基础》，17，2，287-357（2017）·Zbl 1376.49054号 ·doi:10.1007/s10208-015-9288-2 [21] Charlier，B.，Feydy，J.，Glaunès，J.、Collin，F.D.和Durif，G.（2020年）。GPU上的内核操作，带有autodiff，没有内存溢出。arXiv预打印arXiv:2004.1127·Zbl 07370591号 [22] 查龙，N。；Trouve，A.，用于不同同胚配准的非定向形状的变倍表示，SIAM成像科学杂志，6，4，2547-2580（2013）·兹比尔1279.68313 ·doi:10.137/130918885 [23] 查龙，N。；Trouvé，A.，《功能电流：建模和分析功能形状的新数学工具》，《数学成像与视觉杂志》，48，3，413-431（2014）·Zbl 1361.68284号 ·doi:10.1007/s10851-012-04134 [24] Charon，N.、Charlier，B.、Glaunès，J.、Gori，P.和Roussillon，P.（2020年）。曲线和曲面之间的保真度度量：电流、变量和法线周期。《医学图像分析中的黎曼几何统计》（第441-477页），学术出版社·Zbl 1453.92156号 [25] Cury，C。；Glaunes，JA；Colliot，O.，《大型数据库的模板估计：利用电流的微分迭代质心法》，《信息几何科学国际会议》，103-111（2013），查姆：斯普林格，查姆·Zbl 1405.68430号 ·doi:10.1007/978-3-642-40020-9_10 [26] 伊利诺伊州德莱顿；Mardia，KV，《统计形状分析：概率统计中的威利级数》（1998），纽约：威利出版社，纽约·Zbl 0901.62072号 [27] Ebin，D.G.（1970年）。《黎曼度量流形》，载于《全球分析》（Proc.Sympos.Pure Math.，Vol.XV，Berkeley，Calif.），11-40（1968）。Amer Providence，R.I.：数学。Soc公司·Zbl 0205.53702号 [28] 费德勒，H.，《几何测量理论》（1969年），查姆：施普林格，查姆·Zbl 0176.00801号 [29] 浮子，MS；Hormann，K.，《曲面参数化：教程和调查》，《几何建模的多分辨率进展》，157-186（2005），Cham:Springer，Cham·Zbl 1065.65030号 ·doi:10.1007/3-540-26808-19 [30] Frenkel，M。；Basri，R.，使用快速行进法进行曲线匹配，计算机视觉和模式识别中能量最小化方法国际研讨会，35-51（2003），Cham:Springer，Cham·doi:10.1007/978-3-540-45063-43 [31] Fröhlich，S。；Botsch，M.，基于离散壳的示例驱动变形，计算机图形论坛，30，8，2246-2257（2011）·doi:10.1111/j.1467-8659.2011.01974.x [32] Geirhos，R.、Rubisch，P.、Michaelis，C.、Bethge，M.、Wichmann，F.A.和Brendel，W.（2018）。经过ImageNet训练的CNN偏向纹理；增加形状偏差可以提高准确性和鲁棒性。arXiv预打印arXiv:1811.12231 [33] Glaunès，J。；邱，A。；密歇根州米勒；Younes，L.，大变形微分度量曲线映射，国际计算机视觉杂志，80，3，317（2008）·兹比尔1477.68471 ·doi:10.1007/s11263-008-0141-9 [34] Grzegorzek，M.、Theobalt，C.、Koch，R.和Kolb，A.（2013）。飞行时间和深度成像。传感器、算法和应用：2012年Dagstuhl研讨会和GCPR成像新模式研讨会（第8200卷）。斯普林格。 [35] 杰明，IH；Kurtek，S.公司。；克拉森，E。；Srivastava，A.，使用平方根法向场的参数化曲面的弹性形状匹配，欧洲计算机视觉会议，804-817（2012），Cham:Springer，Cham [36] 伊利诺伊州杰明；Kurtek，S。；拉加，H。；Srivastava，A.，三维物体的弹性形状分析，计算机视觉综合讲座，12，1，1-185（2017）·doi:10.2200/S00785ED1V01Y201707COV012 [37] Kaltenmark，I.、Charlier，B.和Charon，N.（2017年）。一个通用的框架，用于曲线和曲面的比较和与定向变量的配准。计算机视觉和模式识别（CVPR）。 [38] Kendall，DG；巴登，D。；蒂克斯·卡内（TK Carne）；Le，H.，《形状和形状理论》（1999），奇切斯特：约翰·威利父子公司，奇切斯·Zbl 0940.60006号 ·doi:10.1002/9780470317006 [39] Kilian，M。；新泽西州米特拉；Pottmann，H.，形状空间中的几何建模，ACM Trans Graphics，26，3，64-es（2007）·数字对象标识代码：10.1145/1276377.1276457 [40] 克拉森，E。；Michor，PW，SRNF无法区分不同形状的闭合曲面，Archivum Mathematicum，56，2，107-114（2020）·Zbl 1474.53029号 ·doi:10.5817/AM2020-2-107 [41] Kokoszka，P。；Reimherr，M.，《功能数据分析简介》（2017），博卡拉顿：CRC出版社，博卡拉顿·Zbl 1411.62004号 ·doi:10.1201/9781315117416 [42] Kurtek，S。；克拉森，E。；戈尔，JC；丁，Z。；Srivastava，A.，参数化曲面形状空间中的弹性测地线路径，IEEE模式分析和机器智能汇刊，34，9，1717-1730（2012）·doi:10.1109/TPAMI.2011.233 [43] 拉加，H。；谢奇。；伊利诺伊州杰明；Srivastava，A.，用于发电机零表面弹性形状分析的SRNF图的数值反演，IEEE模式分析和机器智能汇刊，39，12，2451-2464（2017）·doi:10.10109/TPAMI.2016.22647596 [44] 拉希里，S。；Robinson博士。；Klassen，E.，平方根速度框架中\（｛\mathbb｛R｝｝^N\）中PL曲线的精确匹配，几何、成像和计算，2，33133-186（2015）·Zbl 1403.94020号 ·doi:10.4310/GIC.2015.v2.n3.a1 [45] 刘，DC；Nocedal，J.，《关于大规模优化的有限内存BFGS方法》，《数学规划》，45，1-3，503-528（1989）·Zbl 0696.90048号 ·doi:10.1007/BF01589116 [46] Marin，R.、Melzi，S.、Rodolá，E.和Castellani，U.（2019年）。用于基于模板的人体模型自动匹配的高分辨率增强。2019年国际3D视觉会议（3DV），（第230-239页）IEEE。 [47] Mennucci，A。；Yezzi，A。；Sundaramoorthi，G.，曲线空间中Sobolev型度量的性质，界面自由边界，10，4，423-445（2008）·Zbl 1168.58005号 ·doi:10.4171/IFB/196 [48] Michor，PW，微分几何主题，数学研究生课程（2008），普罗维登斯，RI:美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 1175.53002号 [49] 米歇尔，PW；Mumford，D.，《子流形和微分同态空间上的消失测地距离》，《文献数学》，10217-245（2005）·Zbl 1083.58010号 [50] 米歇尔，PW；Mumford，D.，平面曲线空间上的黎曼几何，欧洲数学学会杂志，8，1-48（2006）·Zbl 1101.58005号 ·doi:10.4171/JEMS/37 [51] 米歇尔，PW；Mumford，D.，使用哈密顿方法对曲线空间的黎曼度量的概述，应用和计算调和分析，23，1，74-113（2007）·Zbl 1116.58007号 ·doi:10.1016/j.acha.2006.07.004 [52] 米勒，M。；Ratnanather，JT；Tward，DJ；Brown，T。；Lee，D。；Ketcha，M.，《通过基于MRI的形态差异测定和高场图谱分析在阿尔茨海默病中的网络神经变性》，生物工程和生物技术前沿，3，54（2015）·doi:10.3389/fbioe.2015.00054 [53] Minh，总部；穆里诺，V。；Minh，HQ，《黎曼几何和应用的算法进展》（2016），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 1357.53004号 ·doi:10.1007/978-3-319-45026-1 [54] Needham，T。；Kurtek，S.，简化平面曲线空间上一般弹性度量的变换，SIAM成像科学杂志，13，1，445-473（2020）·Zbl 1480.68016号 ·doi:10.1137/19M1265132 [55] Niethammer，M.、Kwitt，R.和Vialard，F.X.（2019年）。图像配准的度量学习。在《IEEE计算机视觉和模式识别会议论文集》（第8463-8472页）中。 [56] 宾夕法尼亚州。；索默，S。；Fletcher，T.，医学图像分析中的黎曼几何统计（2019），伦敦：学术出版社，伦敦·Zbl 1428.92004年 [57] Roussillon，P。；Glaunes，JA，《正常周期的核度量及其在曲线匹配中的应用》，SIAM成像科学杂志，1991-2038年第9期，第4期（2016年）·Zbl 1364.53071号 ·doi:10.1137/16M1070529 [58] 伦普夫，M。；Wardetzky，M.，《从弹性角度进行几何处理》，GAMM-Mitteilungen，37，2，184-216（2014）·Zbl 1322.68246号 ·doi:10.1002/gamm.201410009 [59] 伦普夫，M。；Wirth，B.，形状分析中的变分方法，成像数学方法手册，21819-1858（2015）·Zbl 1331.68259号 ·doi:10.1007/978-1-4939-0790-8_56 [60] 伦普夫，M。；Wirth，B.，测地微积分的变分时间离散化，IMA数值分析杂志，35，3，1011-1046（2015）·Zbl 1329.65133号 ·doi:10.1093/imanum/dru027 [61] 塞巴斯蒂安，结核病；克莱因，PN；Kimia，BB，关于对齐曲线，IEEE模式分析和机器智能汇刊，25，1，116-125（2003）·doi:10.1109/TPAMI.2003.1159951 [62] Sheffer，A。；Praun，E。；Rose，K.，网格参数化方法及其应用，计算机图形和视觉的基础和趋势，2，2，105-171（2007）·Zbl 1112.68130号 ·doi:10.1561/0600000011 [63] Srivastava，A。；Klassen，EP，功能和形状数据分析（2016），柏林：施普林格，柏林·Zbl 1376.62003年 ·数字对象标识代码：10.1007/978-1-4939-4020-2 [64] Srivastava，A。；克拉森，E。；Joshi，SH；Jermyn，IH，欧几里德空间中弹性曲线的形状分析，IEEE模式分析和机器智能汇刊，33，7，1415-1428（2011）·doi:10.1109/TPAMI.2010.184 [65] Su，Z.，Bauer，M.，Gallivan，K.A.，&Klassen，E.（2020a）简化曲面空间上弹性度量族的变换。在IEEE计算机视觉和模式识别研讨会（CVPRW）上。 [66] 苏，Z。；Bauer，M。；南卡罗来纳州普雷斯顿；拉加，H。；Klassen，E.，《使用一般弹性度量进行表面形状分析》，《数学成像与视觉杂志》，621087-1106（2020）·兹比尔1496.65032 ·doi:10.1007/s10851-020-00959-4 [67] Sullivan，JM，光滑和离散曲面的曲率，离散微分几何，175-188（2008），Birkhäuser：施普林格，Birkhäuser·兹比尔1151.53007 ·doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_9 [68] Sundaramoorthi，G。；Mennucci，A。；索托，S。；Yezzi，A.，《曲线空间中的一种新几何度量以及通过预测和滤波跟踪变形物体的应用》，SIAM成像科学杂志，4，1，109-145（2011）·Zbl 1214.93033号 ·doi:10.1137/090781139 [69] Tumpach，AB，退化黎曼度量的规范不变性，AMS公告，63，4，342-350（2016）·Zbl 1361.53006号 ·doi:10.1090/noti1350 [70] Tumpach，AB；Drira，H。；Daoudi，M。；Srivastava，A.，表面形状分析的量规不变框架，IEEE模式分析和机器智能汇刊，38，1，46-59（2015）·doi:10.1109/TPAMI.2015.2430319 [71] 图拉加，PK；Srivastava，A.，《计算机视觉中的黎曼计算》（2016），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 1357.68254号 ·doi:10.1007/978-3-319-22957-7 [72] 维兰特，M。；Glaunès，J.，通过电流进行表面匹配，医学成像信息处理两年期国际会议，381-392（2005），柏林：施普林格，柏林·doi:10.1007/11505730_32 [73] Willmore，TJ，黎曼几何（1993），牛津：牛津大学出版社，牛津·Zbl 0797.5302号 [74] Younes，L.，形状之间的可计算弹性距离，SIAM应用数学杂志，58，2，565-586（1998）·Zbl 0907.68158号 ·doi:10.1137/S00361399995287685 [75] Younes，L.，《形状与差异》（2010），柏林：斯普林格出版社，柏林·兹比尔1205.68355 ·doi:10.1007/978-3642-12055-8 [76] 尤尼斯，L。；米歇尔，PW；沙阿·J。；Mumford，D.，《具有显式测地线的形状空间度量》，Rendiconti Lincei-Matematica e Applicazioni，19，1，25-57（2008）·Zbl 1142.58013号 ·doi:10.4171/RLM/506 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。