查尔斯·达波尼 形状优化中的拓扑韧带：与薄管不均匀性的连接。 （英语） Zbl 1482.35069号 SMAI J.计算。数学。 7, 185-266 (2021). 摘要：在本文中，我们提出了一种形式化的方法来评估形状泛函的渐近行为，当在所考虑的域的边界的两个远处区域之间添加一个小管韧带时。在电导方程和线性弹性系统的背景下，我们将这个问题与一个可能更经典的薄管状非均匀性问题联系起来：我们分析了在固定“背景”介质中提出的物理偏微分方程版本的解，其材料系数在厚度为零的管内发生变化。从理论角度来看，我们的主要贡献是提出了一个启发式能量论证，以最小的工作量计算这些解的极限行为。当已知公式可用时，我们会检索它们，并设法处理据我们所知文献中未报告的情况（包括三维线性弹性系统的设置）。从数值的角度来看，我们提出了从这些展开式导出的形式“拓扑韧带”方法的三种不同应用。首先，它是一种解释域变化的原始方法，因此它为形状泛函提供了一种新型的灵敏度，可与优化设计框架中更经典的形状和拓扑导数同时使用。此外，它还提出了新的、有趣的算法，用于通过三维打印技术在制造过程中保持形状的脚手架结构的设计，以及桁架式结构的设计。在二维和三维空间中给出了几个数值例子来评价这些方法的效率。 引用于4文件 MSC公司： 35C20美元 偏微分方程解的渐近展开 35J25型 二阶椭圆方程的边值问题 2010年第49季度 优化最小曲面以外的形状 65K10码 数值优化和变分技术 74B05型 经典线性弹性 关键词：形状和拓扑优化；小的不均匀性；渐近分析；线性弹性 软件：自由Fem++ PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Dapogny}，SMAI J.计算。数学。7、185-266（2021年；Zbl 1482.35069） 全文： 内政部 参考文献： [1] 罗伯特·A·亚当斯。；John Fournier，Sobolev spaces，140（2003），学术出版社·Zbl 1098.46001号 [2] Allaire，Grégoire，用均匀化方法进行形状优化，146（2002），Springer·Zbl 0990.35001号 ·doi:10.1007/978-1-4684-9286-6 [3] 格里戈伊尔·阿莱雷；Bogosel，Beniamin，《添加剂制造的优化支持》，结构。多学科。最佳。，58, 6, 2493-2515 (2018) ·文件编号：10.1007/s00158-018-2125-x [4] 格里戈伊尔·阿莱雷；查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；拉斐尔·埃斯特韦斯；亚历克西斯·福雷；Michailidis，Georgios，《附加制造技术施加的悬垂约束下的结构优化》，J.Compute。物理。，351, 295-328 (2017) ·Zbl 1375.74076号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.09.041 [5] 格里戈伊尔·阿莱雷；查尔斯·达波尼；亚历克西斯·福雷；Michailidis，Georgios，《加性制造逐层机械约束的形状优化》，C.R.Math。阿卡德。科学。巴黎，355，6，699-717（2017）·Zbl 1370.49037号 ·doi:10.1016/j.crma.2017.04.008 [6] 格里戈伊尔·阿莱雷；查尔斯·达波尼；Frey，Pascal，通过简单网格的精确变形对弹性结构进行拓扑和几何优化，C.R.Math。阿卡德。科学。巴黎，349，17-18，999-1003（2011）·Zbl 1368.74045号 ·doi:10.1016/j.crma.2011.08.012 [7] 阿勒尔，格雷戈伊尔；查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；Frey，Pascal，基于水平集的网格进化方法的形状优化，计算。方法应用。机械。工程，282，22-53（2014）·Zbl 1423.74739号 ·doi:10.1016/j.cma.2014.08.028 [8] 格里戈伊尔·阿莱雷；查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；Jouve，François，几何偏微分方程，第二部分，22，形状和拓扑优化，1-132（2021），Elsevier·Zbl 1475.49048号 ·doi:10.1016/bs.hna.2020.10.004 [9] 格里戈伊尔·阿莱雷；德古尔奈，弗雷德里克；弗朗索瓦·尤夫；Toader，Anca-Maria，通过水平集方法使用拓扑和形状敏感性进行结构优化，Control Cybern。，34, 1, 59 (2005) ·Zbl 1167.49324号 [10] 格里戈伊尔·阿莱雷；Jakabčin，Lukas，在通过添加制造构建的结构拓扑优化中考虑热残余应力，数学。模型方法应用。科学。，28, 12, 2313-2366 (2018) ·兹比尔1411.49028 ·doi:10.1142/S0218202518500501 [11] 格里戈伊尔·阿莱雷；弗朗索瓦·尤夫；Toader，Anca-Maria，《使用灵敏度分析和水平集方法进行结构优化》，J.Compute。物理。，194, 1, 363-393 (2004) ·Zbl 1136.74368号 ·doi:10.1016/j.jcp.2003.09.032 [12] 格里戈伊尔·阿莱雷；Schoenauer，Marc，《结构优化概念》，58（2007），Springer·Zbl 1132.49033号 [13] 路易吉·安布罗西奥；Mantegazza，Carlo，流形的曲率和距离函数，J.Geom。分析。，8, 5, 723-748 (1998) ·Zbl 0941.53009号 ·doi:10.1007/BF029222668 [14] 路易吉·安布罗西奥；Soner，H.Mete，任意余维平均曲率流的水平集方法，J.Differ。地理。，43, 693-737 (1994) ·Zbl 0868.35046号 [15] 阿米尔，奥德；质量、Yoram、分阶段施工拓扑优化、结构。多学科。最佳。，57/1679-1694（2018）·doi:10.1007/s00158-017-1837-7 [16] 哈比卜·阿马利；埃琳娜·贝雷塔；Francini，Elisa，《薄导电缺陷的重建》，应用。分析。，83，1，63-76（2004年）·Zbl 1047.35130号 ·网址：10.1080/0003681031001620090 [17] 哈比卜·阿马利；埃琳娜·贝雷塔；Francini，Elisa，薄导电缺陷的重建，II。多段的情况，应用。分析。，85, 1-3, 87-105 (2006) ·Zbl 1092.35115号 ·网址：10.1080/00036810500277736 [18] 哈比卜·阿马利；Kang，Hyeonbae，从边界测量重建小的不均匀性（2004），Springer·Zbl 1113.35148号 ·doi:10.1007/b98245 [19] 哈比卜·阿马利；Kang，Hyeonbae，《极化和矩张量：在反问题和有效介质理论中的应用》，162（2007），Springer·Zbl 1220.35001号 [20] 哈比卜·阿马利；Kang，Hyeonbae；Lee，Hyundae，计算椭圆和椭球体弹性矩张量的边界积分方法，J.Compute。数学。，2-12 (2007) [21] 哈比卜·阿马利；Kang，Hyeonbae；Nakamura，Gen；Tanuma，Kazumi，存在小直径夹杂物和检测夹杂物时弹性静力学系统解的完全渐近展开，J.Elasticity，67，2，97-129（2002）·Zbl 1089.74576号 ·doi:10.1023/A:1023940025757 [22] 哈比卜·阿马利；沙里·莫斯科；Vogelius，Michael S.，重建小体积电和电磁不均匀性的边界积分公式，ESAIM，Control Optim。计算变量，9，49-66（2003）·兹比尔1075.78010 ·doi:10.1051/cocv:2002071 [23] 哈比卜·阿马利；Seo，Jin Keun，重建电导率不均匀性的精确公式，高级应用程序。数学。，30, 4, 679-705 (2003) ·兹比尔1040.78008 ·doi:10.1016/S0196-8858（02）00557-2 [24] 哈比卜·阿马利；迈克尔·S·福格利乌斯（Michael S.Vogelius）。；Volkov，Darko，小直径非均匀性存在时电磁场扰动的渐近公式II。完整的麦克斯韦方程组，J.Math。Pures应用。，80, 8, 769-814 (2001) ·Zbl 1042.78002号 ·doi:10.1016/S0021-7824（01）01217-X [25] Amstutz，Samuel，关于材料特性局部扰动的敏感性分析，渐近分析。，49, 1-2, 87-108 (2006) ·Zbl 1187.49036号 [26] Samuel Amstutz；Andrä，Heiko，使用水平集方法进行拓扑优化的新算法，J.Compute。物理。，216, 2, 573-588 (2006) ·Zbl 1097.65070号 ·doi:10.1016/j.jcp.2005.12.015 [27] Samuel Amstutz；查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；Ferrer，alla-lex，耦合形状和拓扑导数优化设计问题的一致松弛，Numer。数学。，1-60 (2016) ·Zbl 1393.74145号 [28] Aubin，Jean-Pierre，用Galerkin和有限差分方法求解线性椭圆算子边值问题近似解的误差行为，Ann.Sc.Norm。超级的。比萨，Cl.Sci。，21, 4, 599-637 (1967) ·Zbl 0276.65052号 [29] 本德瑟，马丁·P·。；亚哈龙·本·塔尔；Zowe，Jochem，桁架几何和拓扑设计的优化方法，结构优化，7，3，141-159（1994）·doi:10.1007/BF01742459 [30] 马丁·菲利普·本德索；Sigmund，Ole，《拓扑优化：理论、方法和应用》（2013），Springer [31] 埃琳娜·贝雷塔；埃里克·博内蒂尔（Eric Bonnetier）；Elisa Francini；Mazzucato，Anna L.，各向异性弹性夹杂物的小体积渐近性，逆问题。成像，6，1，1-23（2012）·兹比尔1238.35152 ·doi:10.3934/ipi.2012.6.1 [32] 埃琳娜·贝雷塔；伊夫斯·卡普代博斯克；德古尔奈，弗雷德里克；Francini，Elisa，三维域中的薄圆柱形导电夹杂物：极化张量和边界数据的唯一确定，逆问题。，25, 6, 065004 (2009) ·Zbl 1173.35721号 ·doi:10.1088/0266-5611/25/6/065004 [33] 埃琳娜·贝雷塔；Francini，Elisa，存在薄弹性不均匀性时位移场的渐近公式，SIAM J.Math。分析。，38, 4, 1249-1261 (2006) ·Zbl 1117.35016号 ·数字对象标识代码：10.1137/050648596 [34] 埃琳娜·贝雷塔；Elisa Francini；Vogelius，Michael S.，薄非均匀性存在下稳态电压势的渐近公式。严格的误差分析，J.Math。Pures应用。，82, 10, 1277-1301 (2003) ·Zbl 1089.78003号 ·doi:10.1016/S0021-7824（03）00081-3 [35] 埃琳娜·贝雷塔；阿鲁普慕克吉；Vogelius，Michael S.，存在小面积导电缺陷时稳态电压势的渐近公式，Z.Angew。数学。物理。，52, 4, 543-572 (2001) ·Zbl 0974.78006号 ·doi:10.1007/PL00001561 [36] 弗拉基米尔·博加乔夫（Vladimir I.Bogachev），《测量理论》，第1期（2007年），施普林格出版社·邮编1120.28001 ·doi:10.1007/978-3-540-34514-5 [37] 马蒂尔德·博西耶；格里戈伊尔·阿莱雷；Tournier，Christophe，使用形状优化工具进行扫描路径优化（2020年） [38] Brezis，Haim，函数分析，Sobolev空间和偏微分方程（2010），Springer·Zbl 1220.46002号 [39] 马丁·布鲁尔（Martin Brühl）；马丁·汉克；Michael S.Vogelius，《定位小不均匀性的直接阻抗层析成像算法》，Numer。数学。，93, 4, 635-654 (2003) ·Zbl 1016.65079号 ·doi:10.1007/s002110200409 [40] 马丁·汉堡包；本杰明·哈克尔（Benjamin Hackl）；Ring，Wolfgang，《将拓扑导数纳入水平集方法》，J.Compute。物理。，194, 1, 344-362 (2004) ·兹比尔1044.65053 ·doi:10.1016/j.jcp.2003.09.033 [41] Calignano，F.，通过选择性激光熔化对铝和钛合金悬挑结构支架的设计优化，材料与设计，64203-213（2014）·doi:10.1016/j.matdes.2014.07.043 [42] 皮尔马科·卡纳萨；Cardaliaguet，Pierre，增长沙堆表问题的平衡解表示，《欧洲数学杂志》。Soc.，6，4，435-464（2004）·兹比尔1084.35015 ·doi:10.4171/JEMS/16 [43] 伊夫斯·卡普代博斯克；罗兰·格雷斯迈尔（Roland Griesmaier）；Knöller，Marvin，薄管状结构散射的渐近表示公式及其在逆散射中的应用，多尺度模型。模拟。，19, 2, 846-885 (2021) ·Zbl 1470.35128号 ·数字对象标识代码：10.1137/20M1369907 [44] 伊夫斯·卡普代博斯克；Vogelius，Michael S.，低体积分数内部电导率不均匀性引起的边界电压扰动的一般表示公式，ESAIM，数学。模型。数字。分析。，37, 1, 159-173 (2003) ·Zbl 1137.35346号 ·doi:10.1051/m2安：2003014 [45] Cedio-Fengya，Donna J。；沙里·莫斯科；Vogelius，Michael S.，《通过边界测量识别小直径导电缺陷》。连续依赖和计算重建，逆问题。，14, 3, 553 (1998) ·Zbl 0916.35132号 ·doi:10.1088/0266-5611/14/3/011 [46] 马修·查恩利（Matthew Charnley）；Vogelius，Michael S.，薄非均匀性存在下电压势极限行为的一致有效模型I.开放中间曲线的情况（2019） [47] 马修·查恩利（Matthew Charnley）；Vogelius，Michael S.，薄非均匀性存在下电压势极限行为的一致有效模型II。局部能量近似结果（2019年） [48] Isaac Chavel，《黎曼几何：现代导论》，98（2006），剑桥大学出版社·Zbl 1099.53001号 ·doi:10.1017/CBO9780511616822 [49] Ciarlet，Philippe G.，椭圆问题的有限元方法，40（2002），工业和应用数学学会·Zbl 0999.65129号 ·数字对象标识代码：10.1137/1.9780898719208 [50] 马克·达姆布赖恩；Djalil Kateb，《关于水平集方法中的替代材料近似》，ESAIM，Control Optim。计算变量，16,3618-634（2010）·Zbl 1202.49051号 ·doi:10.1051/cocv/2009023 [51] 查尔斯·达波尼（Charles Dapogny），形状优化中拓扑韧带与薄管状不均匀性之间的联系（2019年）·Zbl 1448.74086号 [52] 查尔斯·达波尼；塞西尔·多布尔津斯基（Cécile Dobrzynski）；Frey，Pascal，《三维自适应域重网格、隐式域网格以及自由和移动边界问题的应用》，J.Compute。物理。，262, 358-378 (2014) ·Zbl 1349.76598号 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.01.005 [53] 查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；塞西尔·多布尔津斯基（Cécile Dobrzynski）；弗雷，帕斯卡；弗罗伊，阿尔吉安，mmg（2019） [54] 查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；Vogelius，Michael S.，存在具有任意电导率的薄非均匀性时电压势的均匀渐近展开，Chin。数学安。，序列号。B、 38、1、293-344（2017）·Zbl 1368.35095号 ·doi:10.1007/s11401-016-1072-3 [55] 米歇尔·德尔福（Michel C.Delfour）。；Zolésio，Jean-Paul，《形状和几何：度量、分析、微分和优化》（2011年），工业和应用数学学会·兹比尔1251.49001 ·doi:10.1137/1.9780898719826 [56] Dorn，W.，《优化结构的自动设计》，J.Méc。，巴黎，325-52（1964） [57] 杰雷米·杜马；Jean Hergel；Lefebvre，Sylvain，《缩小差距：3D打印的自动稳定脚手架》，ACM Trans。图表。，33, 4, 1-10 (2014) ·doi:10.1145/2601097.2601153 [58] 劳伦斯·克雷格（Lawrence Craig Evans）；Gariepy，Ronald F.，《函数的测度理论和精细性质》（2015），CRC出版社·Zbl 1310.28001号 ·doi:10.1201/b18333 [59] 弗洛里安·费朋（Florian Feppon）；格里戈伊尔·阿莱雷；Felipe Bordeu；科尔蒂尔，朱利安；Dapogny，Charles，水平集网格演化框架中热流体-结构耦合问题的形状优化，SeMA J.，1-46（2019）·兹比尔1422.49038 [60] 弗洛里安·费朋（Florian Feppon）；格里戈伊尔·阿莱雷；Dapogny，Charles，用于约束优化的零空间梯度流及其在形状优化中的应用（2019）·Zbl 1464.65064号 [61] 费彭，弗洛里安；格里戈伊尔·阿莱雷；查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；Jolivet，Pierre，《使用实体网格和并行计算对热流结构系统进行拓扑优化》，J.Compute。物理。，109574 (2020) ·Zbl 1437.74021号 ·doi:10.1016/j.jcp.2020.109574 [62] 杰拉尔德·福兰德，《偏微分方程导论》（1995），普林斯顿大学出版社·Zbl 0841.35001号 [63] Avner Friedman；Vogelius，Michael S.，《通过边界测量识别极端电导率的小不均匀性：连续依赖性定理》，Arch。定额。机械。分析。，105, 299-326 (1989) ·Zbl 0684.35087号 ·doi:10.1007/BF00281494 [64] 圣菲省加罗；菲利普·纪尧姆（Philippe Guillaume）；Masmoudi，Mohamed，PDE系统的拓扑渐近：弹性情况，SIAM J.控制优化，39，6，1756-1778（2001）·Zbl 0990.49028号 ·doi:10.1137/S0363012900369538 [65] 伊恩·吉布森；David W.Rosen。；Stucker，Brent，《增材制造技术》，17（2014），Springer [66] 大卫·吉尔巴格；Trudinger，Neil S.，二阶椭圆偏微分方程（2015），Springer·Zbl 1042.35002号 [67] Griesmaier，Roland，《利用电阻抗断层成像技术重建三维区域中的薄管状包裹体》，SIAM J.成像科学。，3, 3, 340-362 (2010) ·Zbl 1193.78012号 ·doi:10.1137/090764074 [68] Griesmaier，Roland，存在低体积散射体时电磁场的一般摄动公式，ESAIM，数学。模型。数字。分析。，1193-1218年6月45日（2011年）·Zbl 1277.78021号 ·doi:10.1051/m2安/201015 [69] 郭旭；张伟生；Zhong，Wenliang，显式和几何地进行拓扑优化——一种新的基于移动可变形组件的框架，J.Appl。机械。，81, 8 (2014) [70] Hackbusch，Wolfgang，积分方程：理论和数值处理，120（2012），Birkhäuser·Zbl 1244.65061号 [71] Hecht，Frédéric，FreeFem++的新发展，J.Numer。数学。，20, 3-4, 251-266 (2012) ·Zbl 1266.68090号 [72] 安托万·亨罗；Pierre，Michel，《形状变化与优化》，28（2018），欧洲数学学会·兹比尔1392.49001 ·数字对象标识代码：10.4171/178 [73] 赫萨内·卡泽米；阿什坎·瓦齐里；Norato，Julián A.，由不同材料的离散几何部件构成的结构拓扑优化，机械设计杂志，140，11（2018）·Zbl 1436.74058号 [74] 阿卜杜斯塔尔·赫利菲；Zribi，Habib，二维和三维薄界面电压势的渐近展开，数学。方法应用。科学。，34, 18, 2274-2290 (2011) ·Zbl 1231.35307号 ·doi:10.1002/mma.1529 [75] 马塞洛·H·小林。；罗伯特·坎菲尔德（Robert A.Canfield）。；Kolonay，Raymond M.，关于通过两点拓扑导数进行布局优化的细胞发展方法，Struct。多学科。最佳。，64, 4, 2343-2360 (2021) ·doi:10.1007/s00158-021-02986-0 [76] 克雷斯，雷纳，开放弧的逆散射，数学。方法应用。科学。，18, 4, 267-293 (1995) ·Zbl 0824.35030号 ·数字对象标识码：10.1002/mma.1670180403 [77] Kress，Rainer，线性积分方程，82（2012），Springer·Zbl 1328.45001号 [78] Kwon，欧姆；Seo、Jin Keun；Yoon，Jeong-Rock，用一次测量进行不连续电导率位置搜索的实时算法，Commun。纯应用程序。数学。，55, 1, 1-29 (2002) ·Zbl 1032.78005号 ·doi:10.1002/cpa.3009 [79] 尼古拉斯·勒布（Nicolas Lebbe）；查尔斯·达波尼（Charles Dapogny）；爱德华·乌代特（Edouard Oudet）；哈桑，卡里姆；Gliere，Alain，使用水平集方法的纳米光子器件的稳健形状和拓扑优化，J.Comput。物理。，395, 710-746 (2019) ·Zbl 1452.65109号 ·doi:10.1016/j.jcp.2019.06.057 [80] 李曲豪；陈文炯；刘树田；童立勇，考虑连接约束的结构拓扑优化，结构。多学科。最佳。，54, 4, 971-984 (2016) [81] 刘继凯；安德鲁·盖诺（Andrew Gaynor）；陈世奎；Kang，Zhan；克里希南·苏雷什；秋叶忠泽；李磊；加藤俊吉；唐金元；Wang，Charlie，增材制造拓扑优化的当前和未来趋势，结构。多学科。最佳。，57, 2457-2483 (2018) [82] 卡洛·曼特加扎；Mennucci，Andrea Carlo，Hamilton-Jacobi方程和黎曼流形上的距离函数。，申请。数学。最佳。，47, 1 (2003) ·兹比尔1048.49021 [83] McLean，William Charles Hector，强椭圆系统和边界积分方程（2000），剑桥大学出版社·Zbl 0948.35001号 [84] Mitrea，Dorina，《分布、偏微分方程和调和分析》（2013），Springer·Zbl 1308.46002号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-1-4614-8208-6 [85] 迪特里希·摩根斯顿；伊斯坦·萨博（István Szabó），《沃勒松根·吕伯理论力学》（Vorlesungenüber theoretische Mechanik），第112期（2013年），施普林格出版社 [86] 穆拉特，F。；Simon，J.，《国家治理》（1976年） [87] Serguei A.Nazarov。；Andrey Slutskij；Sokołowski，Jan，空间物体上形成薄韧带导致的能量泛函的拓扑导数，Folia Math。，12, 39-72 (2005) ·Zbl 1130.49033号 [88] Serguei A.Nazarov。；Sokołowski，Jan，Dirichlet积分因形成薄韧带Sib而产生的拓扑导数。数学。J.，45，2，341-355（2004）·Zbl 1071.35037号 ·doi:10.1023/B:SIMJ.0000021290.61807.4b文件 [89] Serguei A.Nazarov。；Sokołowski，Jan，形状优化中微分算子和外部拓扑导数的自伴扩张，控制网络。，34, 903-925 (2005) ·Zbl 1167.49330号 [90] Nédélec，Jean-Claude，声学和电磁方程：谐波问题的积分表示，144（2001），施普林格·Zbl 0981.35002号 ·doi:10.1007/978-1-4757-4393-7 [91] Nguyen、Hoai-Minh；Vogelius，Michael S.，由直径较小的电导率不均匀性引起的电压扰动的表示公式。统一有效性证明，Ann.Inst.Henri Poincaré，Ana。Non Linéaire，第26、6、2283-2315页（2009年）·Zbl 1178.35357号 ·doi:10.1016/j.anihpc.2009.03.005 [92] Nitsche、Joachim、Ein kriterium für die准最优方案。数学。，11, 4, 346-348 (1968) ·Zbl 0175.45801号 ·doi:10.1007/BF02166687 [93] 安东尼奥·安德烈·诺沃特尼；Sokołowski，Jan，形状优化中的拓扑导数（2012），Springer·Zbl 1276.35002号 [94] 斯坦利·奥斯尔（Stanley Osher）；Sethian，James A.，《以曲率相关速度传播的前沿：基于Hamilton-Jacobi公式的算法》，J.Compute。物理。，79, 1, 12-49 (1988) ·Zbl 0659.65132号 ·doi:10.1016/0021-9991（88）90002-2 [95] 彼得森，克劳斯；Peter Allinger，拓扑优化的工业实施和应用及未来需求，IUTAM结构、机械和材料拓扑设计优化研讨会，229-238（2006）·数字对象标识代码：10.1007/1-4020-4752-5_23 [96] Pironneau，Olivier，椭圆系统的最佳形状设计（1982），Springer·Zbl 0534.49001号 [97] 拉莱纳（Lalaina）的拉科通德雷尼贝（Rakotondrainibe）；格里戈伊尔·阿莱雷；Patrick Orval，机械系统连接的拓扑优化，结构。多学科。最佳。，1-17 (2020) [98] Reddy，Junuthula Narasimha，弹性板壳理论与分析（2006），CRC出版社·Zbl 1305.65002号 ·doi:10.1201/9780849384165 [99] 奥勒·西格蒙德；Maute，Kurt，拓扑优化方法，结构。多学科。最佳。，48, 6, 1031-1055 (2013) ·文件编号：10.1007/s00158-013-0978-6 [100] 威廉·斯劳特（William S.Slaugter），《弹性线性化理论》（2012），施普林格·Zbl 0999.74002号 [101] Sokołowski，Jan；Zochowski，Antoni，《形状优化中的拓扑导数》，SIAM J.控制优化，37，4，1251-1272（1999）·兹伯利0940.49026 ·doi:10.1137/S0363012997323230 [102] Sokołowski，Jan；Zolésio，Jean-Paul，形状优化导论（1992），斯普林格·Zbl 0761.73003号 ·doi:10.1007/978-3-642-58106-9 [103] Spivak，Michael，《微分几何综合导论》，第1卷，第2版（1979年），Publish or Perish Inc·Zbl 0439.5302号 [104] 丹尼尔·斯托亚诺夫（Daniel Stojanov）；吴新华；布莱恩·法尔松（Brian G.Falzon）。；Yan，Wenyi，选择性激光熔化的轴对称结构优化设计和空隙控制，结构。多学科。最佳。，56, 5, 1027-1043 (2017) ·doi:10.1007/s00158-017-1700-x [105] 王，Michael Yu；王晓明；郭东明，结构拓扑优化的水平集方法，计算。方法应用。机械。工程，192，1-2，227-246（2003）·Zbl 1083.74573号 ·doi:10.1016/S0045-7825（02）00559-5 [106] 赵熙；周明东；奥勒·西格蒙德；Andreasen，Casper Schousboe，基于达西流动模型的冷却通道拓扑优化的“穷人方法”，《国际传热杂志》，1161108-1123（2018）·doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.09.090 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。