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冯·诺依曼熵的一个函数性质。 (英语。法语摘要) Zbl 1481.18007号

J.C.贝兹等【熵13,No.11,1945-1957(2011;Zbl 1301.94043号)]给出了香农熵的一个非常简单的表征(差异)[C.E.香农,贝尔系统。《技术期刊》27,379–423,623–656(1948;Zbl 1154.94303号)]通过利用D.K.法德耶夫【Usp.Mat.Nauk 11,第1号(67),227-231(1956年;兹伯利0071.13103)]和S.Furuichi公司[IEEE Trans.Inf.Theory 51,No.10,3638–3645(2005;Zbl 1298.94038号)]. 有限概率分布的Shannon熵被刻画为唯一的非消失连续仿射函子\[\mathbf{FinProb}\rightarrow\mathbb{BR}(巴西)_{\geq0}\]从有限概率空间到非负数,再到整体非负常数,其中(mathbf{FinProb})是被赋予概率测度作为对象,概率保持函数作为态射的有限集的范畴,和(mathbb{BR}(巴西)_{\geq0}\)是一个对象和所有非负实数的范畴,作为形态,加法作为合成。
本文的主要目的是通过将(mathbf{FinProb})替换为\[\矩阵{NCFinProb}\]它是以状态为对象、以状态为表示的单位*-同态为态的单位有限维(C^{ast})-代数的范畴。为此,应该克服这两个障碍。
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冯·诺依曼熵的差异不必有固定的符号。作者证明了崩解的存在[A.J.帕兹格纳特B.P.Russo公司,“非交换分解:有限维中的存在性和唯一性”,预印本,arXiv公司:1907.09689]意味着熵差的非负性。
2
\(\mathbf{NCFinProb}\)的对象不是类别中任何单个对象生成的凸对象。

本文通过引入凸范畴的Grothendieck纤维和纤维仿射函子来解决上述两个障碍。\[\开始{数组}[c]{ccc}\mathbf{NCFinProb}&\覆盖{H}\longrightarrow&\mathbb{BR}\\\向下箭头&&\向下箭头\\\mathbf{fdC}^{\ast}-\mathbf}Alg}&\longrightarrow&\underline{\mathbf{1}}\end{array}\]其中,\(下划线{\mathbf{1}}\)是单个对象的范畴,只是同一态射,\(mathbb{BR}\)则是所有实数作为同态的单对象范畴,以加法作为合成,而\(mathbf{fdC}^{ast}-\mathbf{Alg}\)又是酉有限维\(C^{ast{)的范畴-代数作为对象,单位*-同态作为态射,其中\(\mathbf{NCFinProb}\)是fibration。左纤维的纤维是凸范畴,其中,对于左边的每一个(C^{ast})-代数(mathcal{A}),一个具有凸集(mathcal{S}(mathcali{A}),被视为一个离散的凸范畴,而每一个\(C^}\ast}\)-代数的态射\(f:mathcal}B}\rightarrow\mathcal_2A}\)被提升到态射\用法:\mathcal{S}(\mathcal{B})\rightarrow\mathcali{S}(\mathcal{A})\)。在右边,\(\mathbb{BR}\)是一个凸范畴,实数的凸组合作为凸运算。熵差函子发送一个状态\(\omega\in\mathcal{S}(\mathcal{a})\)和一个态射\(f:\mathcali{B}\rightarrow\mathcial{a}\)到实数\(H_{f}(\ omega)\)。
本文的主要结果是以下定理。
定理。(量子熵的函数表征,定理4.26)。\[H: \mathbf{NCFinProb}\rightarrow\mathbb{BR}\]是一个连续的正交仿射纤维函子,其中\[H_{\mathcal{A}}(\omega)\geq0\]对于所有状态\(\omega\in\mathcal{S}(\mathcal{A})\),所有纯状态上的所有都相等,对于所有有限维\(C^{ast}\)-代数\(\mathcal{A}\)。则存在一个常数\(c\geq0\),使得\[H_{f}(Ω)=c(S(Ω)-S(Ω圈f))\]对于有限维\(C^{ast}\)-代数和状态\(\omega\in\mathcal{S}(\mathcal{A})\)的所有*-同态,其中\(S(\omega)\)是\(\omega\)的von Neumann熵。

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18天30分 光纤类别
第81页,共17页 量子熵
18碳40 类别中的结构化对象(组对象等)
46L53号 非交换概率与统计
81兰特 算子代数方法在量子理论问题中的应用
94甲17 信息的度量,熵
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