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阿明·戈兰普尔;理查德·托马斯。

简并轨迹、虚环和嵌套希尔伯特方案。一、。 （英语） Zbl 1470.14024号

突尼斯。数学杂志。 2，第3号，633-665（2020年）.
在这篇写得很好的论文（第二部分的第一部分）中，作者研究了光滑环境空间上向量丛的态射的简并轨迹，如他们所示，这些简并轨迹产生了完善的障碍理论，因此也产生了它们的相关虚环。他们设法通过Thom Porteous公式计算出这些虚拟周期。然后，作者给出了这些结果在守时Hilbert格式中的各种应用嵌套的固定射影曲面（S）的子模式，并讨论局部Donaldson-Thomas理论的一些启示。
更准确地说，设（E_{\bullet}={E_0\overset{\sigma}{\rightarrow}E_1\}）是光滑环境空间（a\）上向量丛的两项复数，设（n=\operatorname{dim}a\）和设（r_i=\operatorname{rank}（E_i）\）。第（r）-个简并轨迹在理论上定义为\[Z_r=\bigl\{x\在A\，\colon\，\operatorname{rank}（\sigma|_x）\leqr\bigr\}.\]它配备了由\（r+1）次（r+1，）-子式\（\sigma）的消失所定义的方案结构，即\（Lambda^{r+1}\sigma\colon\Lambda_{r+1}e_0到\Lambda ^{r+1{e_1）的消失。在本文中，作者将注意力限制在最小的\（r\）上，其中\（Z=Z_r\）是非空的；一般情况在续集中处理[A.戈兰普尔和R.P.托马斯，作曲。数学。156，第8期，1623-1663（2020年；Zbl 1454.14028号)]. 他们的第一个主要结果，定理3.6，在（Z）上产生了一个完美的阻塞理论，并为其相关的虚循环（iota_*[Z]^{textrm{vir}}）提供了一个表达式，其中（iota\colon Z\hookrightarrow a\）是嵌入。
设（S）是一个固定射影曲面，设（n_1，n_2）是非负整数，设（S^{[n_i]}）表示（S）的零维长度闭子模式的Hilbert格式。最简单的例子是两步嵌套正点Hilbert方案，
\[S^{[n_1，n_2]}=\bigl\{I_1\substeq I_2\substeq\mathcal{O} _秒\，\冒号\，\运算符名称{length}（\mathcal{O} _秒/I_I）=n_I\bigr\}.\]它位于周围空间（S^{[n_1]}乘以S^{[n_2]}）中，作为点（（I_1，I_2））的轨迹，其存在一个非零映射（mathrm{喇叭}_S（I_1，I_2）\neq 0\）。设\（\pi\colon S^{[n_1]}\乘以S^{[n_2]}\次S\到S^{[n_1]{\次S^{[2]}\）为自然投影，设\（\ mathcal{Z} _1个，\mathcal{Z} 2个\)表示通用闭子模式，并让\（\mathcal{一} _1个，\mathcal{一} _2\)表示相应的通用理想滑轮。然后\（S^｛[n_1，n2]｝\）作为向量丛复合体的简并轨迹出现\[R\mathcal公司{H} om公司_{\pi}（\mathcal{一} _1个，\mathcal{一} _2)=R\pi_{*}R\mathcal{H} om公司（\数学{一} _1个，\mathcal{一} _2)\]超过\（S^{[n_1]}\乘以S^{[2]}\）。
第二个主要结果，定理6.3表明，对于任何光滑投影曲面（S），（2）步嵌套Hilbert格式（S^{[n_1，n_2]}）具有自然完全阻塞理论和虚循环\[\bigl[S^{[n_1，n_2]}\bigr]^{\textrm{vir}}\在A_{n_1+n_2}\bigl（S^{[1，n_2]}\biger）中其向前推进到\（S^｛[n_1]｝\乘以S^｛[，n2]｝\）等于\（c｛n_1+n2｝\bigl（R\mathcal{H} om公司_{\pi}（\mathcal{一} _1个，\mathcal{一} _2[1] \较大）\）
由于定理6.3将（[S^{[n_1，n_2]}]^{\text{vir}}）表示为简并轨迹，因此作者能够利用拓扑学中的分裂原理证明Carlsson和Okounkov的以下消失结果[E.卡尔森和A.奥昆科夫杜克大学数学系。J.161，第9期，1797–1815（2012；Zbl 1256.14010号)]：对于任何光滑投影曲面\（S\），我们都有消失\[c_{n_1+n_2+i}\bigl（R\mathcal{H} om公司_{\pi}（\mathcal{一} _1个，\mathcal{一} _2[1] \bigr）=0，\qquad i>0，\]超过\（S^{[n_1]}\乘以S^{[2]}\）。这项工作中的方法允许作者在定理8.3中推广这一结果，从而产生消失\[c_{n_1+n_2+i}\bigl（R\pi_{*}\mathcal{L}-R\mathcal{H} om公司_{\pi}（\mathcal{一} _1个，\mathcal{一} _2\otimes\mathcal{L}）\bigr）=0，\qquad i>0，\]在\（S^{[n_1]}\times S^{[n_2]}\tormes\operatorname上｛图片｝_{\beta}（S）\）。这里，（H_2（S，mathbb{Z}）中的β是一个曲线类和（mathcal{L}到S\times\operatorname{图片}_{\beta}（S）是一个Poincaréline束。证明依赖于嵌套Hilbert格式的一个更一般的概念，表示为子模式（S\supset Z_1\supseteq Z_2）的\（S_{beta}^{[n_1，n_2]}\），其中\（Z_1）允许为维数\（leq 1）。在本文的续篇中[A.古拉姆布尔和R.P.托马斯，作曲。数学。156，第8期，1623-1663（2020年；Zbl 1454.14028号)]对于任意曲线类（β），作者在（S_{beta}^{[n1，n2]}）上构造了自然完全阻塞理论和虚循环。
在整篇论文中，我们注意到了（h^{0,1}（S））和（h^}0,2}（S））中的一个或两个都不为零的曲面，这两个曲面中的任何一个都需要进一步考虑。本文的最后一节提供了一种替代的、更具几何意义的方法来构造虚拟循环，方法是在情况（h^{0,1}（S）\neq0）中直接合并雅可比矩阵（操作符名{Jac}（S））。
审核人：Sjoerd Beentjes（爱丁堡）

引用于1审查
引用于9文件

MSC公司：

14D20日 代数模问题，向量丛的模
14J60型 曲面上的向量丛和高维簇及其模
14号35 Gromov-Witten不变量，量子上同调，Gopakumar-Vafa不变量，Donaldson-Thomas不变量（代数几何方面）
14二氧化碳 参数化（Chow和Hilbert方案）
57兰特 整体分析在流形结构中的应用

关键词：

简并轨迹;嵌套希尔伯特格式;Thom-Portious公式;局部Donaldson-Thomas理论;Vafa-Writed不变量

引文：

Zbl 1454.14028号;Zbl 1256.14010号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Gholampour}和\textit{R.P.Thomas}，突尼斯。数学杂志。2，第3号，633--665（2020；Zbl 1470.14024）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

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