丁秀才;杨，范 尖峰可分协方差矩阵和主成分。 （英语） 兹伯利1469.15035 Ann.统计。 第2期第49页，第1113-1138页（2021）. 本文介绍了加标可分离协方差矩阵模型。设（A）和（B）是确定性的非负定对称（或厄米特），（X=（X{i，j}）是一个具有实数（或复数）项的随机矩阵，这些项是独立的随机变量，例如（mathbb{E}（X{i,j}=A^｛1/2｝X B X ^｛*｝A^｛1/2｝\）和\（Q_｛2｝=B^｛1/2｝X ^｛*｝A X B ^｛1/2｝\）。注意，（Q{1}）和（Q{2}）共享相同的非零特征值。另一方面，假设存在一个常数（0<tau<1），使得所有（n）都有一个常数，作为一个基本假设，（a，B）的算子范数由（tau^{-1}，）限定，其中（0<\tau<1）是一个小常数，并且（a）和（B）的谱不能在零处崩溃。这意味着可分离样本协方差矩阵没有峰值。峰值可分离样本协方差矩阵的相应类别由\（\ tilde定义｛Q｝_{1} =\tilde{A}^{1/2}X\ tilde{B}X^{*}\ tilde}A}^}1/2}\）和\（\ tilde{问}_{2} =\tilde{B}^{1/2}X^{*}\ tilde{A}X\ tilde}B}^}1/2}。\）这里，\（tilde{A}=A+\triangle{A}，\ tilde{B}=B+\triaangle{B}，，\）其中\（\triangle{A}，\triangles{B}\）分别是有限秩矩阵\（A\）被称为\（\ tilde{A}\）的非尖峰分量，我们必须指出\（A\。该模型允许使用更通用的协方差结构，适用于具有空间和时间峰值的时空数据分析。在这里，作者通过使用预解式（格林）函数将注意力集中在上述加标可分离协方差矩阵模型的主成分上。“离群值”是样本协方差矩阵（Q{1}）和（Q{2}）的特征值，而“尖峰值”是总体矩阵（A}和B}的特征值。）对于超临界和亚临界峰值，得到了相应特征值异常值的一阶极限和相应特征向量的广义分量。推导了精确的收敛速度。另一方面，推导了非离群特征值和特征向量的大偏差界。特别是，非异常特征值将与参考矩阵的特征值保持一致，谱边缘附近的非异常特征向量将偏向亚临界峰值的总体特征向量方向。最后，给出了（tilde{A}，tilde{B}，）的尖峰数的一些估计。更准确地说，作者证明了特征向量是将离群值从（a）尖峰和（B）尖峰中分离出来的关键元素。获得了仅适用于数据矩阵的特征值的最优收缩。请注意，峰值的数量在实际应用中具有重要意义。例如，它表示信号处理中的信号数量（参见[B.纳德勒，IEEE传输。信号处理。58，第5期，2746–2756（2010年；Zbl 1392.94642号)]). 对于峰值协方差矩阵，这样的问题已经在[D.过路人和J.姚明，J.多元分析。127, 173–183 (2014;Zbl 1293.62044号)].审核人：弗朗西斯科·马塞兰（Leganes） 引用于1审查引用于15文件 MSC公司： 15B52号 随机矩阵（代数方面） 15甲18 特征值、奇异值和特征向量 60对20 随机矩阵（概率方面） 62E20型 统计学中的渐近分布理论 关键词：BBP过渡;当地法律;主要成分;加标可分协方差矩阵 引文：Zbl 1339.15023号;兹比尔1392.94642;Zbl 1293.62044号 软件：光收缩;QuEST公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{X.Ding}和\textit{F.Yang}，Ann.Stat.49，No.2，1113--1138（2021；Zbl 1469.15035） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Bai，Z.和Silverstein，J.W.（2010年）。大维随机矩阵的谱分析，第2版。统计学中的斯普林格系列纽约州施普林格·Zbl 1301.60002号 ·doi:10.1007/978-1-4419-0661-8 [2] Baik，J.、Ben Arous，G.和Péché，S.（2005年）。非零复样本协方差矩阵最大特征值的相变。安·普罗巴伯。33 1643-1697. ·Zbl 1086.15022号 ·doi:10.1214/00911790500000233 [3] Bao，Z.、Pan，G.和Zhou，W.（2015）。具有一般总体的样本协方差矩阵最大特征值的普遍性。安。统计师。43 382-421. ·Zbl 1408.60006号 ·doi:10.1214/14-AOS1281 [4] Benaych-Georges，F.和Nadakuditi，R.R.（2012）。大型矩形随机矩阵低秩扰动的奇异值和奇异向量。《多元分析杂志》。111 120-135. ·Zbl 1252.15039号 ·doi:10.1016/j.jmva.2012.04.019 [5] Bloemendal，A.、Erdős，L.、Knowles，A.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2014）。样本协方差和广义Wigner矩阵的各向同性局部律。电子。J.遗嘱认证。19 33. ·Zbl 1288.15044号 ·doi:10.1214/ejp.v19-3054 [6] Bloemendal，A.、Knowles，A.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2016）。关于样本协方差矩阵的主成分。普罗巴伯。理论相关领域164 459-552. ·Zbl 1339.15023号 ·doi:10.1007/s00440-015-0616-x [7] Bourgade，P.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2014）。随机矩阵的局部循环律。普罗巴伯。理论相关领域159 545-595. ·Zbl 1301.15021号 ·doi:10.1007/s00440-013-0514-z [8] Couillet，R.和Hachem，W.（2014）。可分离协方差型大随机矩阵的极限谱测度分析。随机矩阵理论应用。3 1450016. ·Zbl 1305.15078号 ·doi:10.1142/S2010326314500166 [9] 丁X（2019）。样本协方差矩阵的奇异向量分布。高级应用程序。普罗巴伯。51 236-267. ·Zbl 1475.15042号 ·doi:2017年10月10日/2010年4月19日 [10] 丁欣（2020）。高维变形矩形矩阵及其在矩阵去噪中的应用。伯努利26 387-417. ·Zbl 1439.15013号 ·doi:10.3150/19-BEJ1129 [11] 丁欣（2020）。可能具有多个体成分的尖峰样本协方差矩阵。随机矩阵理论应用。.（正在印刷中）。 [12] Ding，X.和Yang，F.（2021）。补充“尖峰可分协方差矩阵和主成分”https://doi.org/10.1214/20-AOS1995SUPP网站 [13] Ding，X.和Yang，F.（2018）。协方差矩阵最大奇异值处边普适性的一个充要条件。附录申请。普罗巴伯。28 1679-1738. ·Zbl 1426.15052号 ·doi:10.1214/17-AAP1341 [14] Dobriban，E.和Owen，A.B.（2019年）。确定性平行分析：一种改进的因子和主成分选择方法。J.R.Stat.Soc.系列。B.统计方法。81 163-183. ·Zbl 1407.62216号 [15] Donoho，D.、Gavish，M.和Johnstone，I.（2018年）。尖峰协方差模型中特征值的最优收缩。安。统计师。46 1742-1778. ·Zbl 1403.62099号 ·doi:10.1214/17-AOS1601 [16] El Karoui，N.（2007年）。一大类复样本协方差矩阵最大特征值的Tracy-Widom极限。安·普罗巴伯。35 663-714. ·Zbl 1117.60020号 ·doi:10.1214/00911790600000917 [17] El Karoui，N.（2008年）。基于随机矩阵理论的大维协方差矩阵谱估计。安。统计师。36 2757-2790. ·Zbl 1168.62052号 ·doi:10.1214/07-AOS581 [18] Erdős，L.、Knowles，A.和Yau，H.-T.（2013）。随机带矩阵解的平均波动。安·亨利·彭卡14 1837-1926. ·Zbl 1296.15020号 ·doi:10.1007/s00023-013-0235-y [19] Erdős，L.、Knowles，A.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2013）。随机带矩阵的离域和扩散剖面。公共数学。物理学。323 367-416. ·Zbl 1279.15027号 ·doi:10.1007/s00220-013-1773-3 [20] Erdős，L.、Knowles，A.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2013）。一类随机矩阵的局部半圆定律。电子。J.遗嘱认证。18 59·Zbl 1373.15053号 ·doi:10.1214/EJP.v18-2473 [21] Genton，M.G.（2007）。时空协方差矩阵的可分离近似。环境计量学18 681-695. ·doi:10.1002/env.854 [22] Gneiting，T.（2002）。时空数据的不可分离平稳协方差函数。J.Amer。统计师。协会。97 590-600. ·Zbl 1073.62593号 ·doi:10.19198/0162114502760047113 [23] Hachem，W.、Loubaton，P.和Najim，J.（2007年）。大随机矩阵某些泛函的行列式等价。附录申请。普罗巴伯。17 875-930. ·Zbl 1181.15043号 ·doi:10.1214/105051606000000925 [24] Johnstone，I.M.（2001）。关于主成分分析中最大特征值的分布。安。统计师。29 295-327. ·Zbl 1016.62078号 ·doi:10.1214/aos/1009210544 [25] Ke，Z.T.（2016）。检测大协方差矩阵中的罕见和微弱峰值。arXiv预印本。可从arXiv:1609.00883获取。 [26] Kermoal，J.P.、Schumacher，L.、Pedersen，K.I.、Mogensen，P.E.和Frederiksen，F.（2002）。随机MIMO无线信道模型及实验验证。IEEE J.选择。公共区域。20 1211-1226. 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