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非均匀穿孔区域Stokes流的CEM-GMsFEM收敛性。 (英语) Zbl 1464.65172号

设\(Omega\subset\mathbbR^d)是一个有界域,\(B_{\epsilon}\)是该域中的一组穿孔。假定穿孔集(B_{\epsilon})是连通圆盘的并集。每个磁盘的直径顺序为(0<\epsilon\ll\operatorname{diam}(\Omega)\),并且可能被顺序为(\epsilen\)的距离隔开。
这项工作发展了所谓的CEM-GM-FEM方法(约束能量最小化广义多尺度有限元方法),用于研究不可压缩流体力学理论中的以下Stokes问题,即\开始{align*}-\Delta\mathbf{u}+\nabla p&=\mathbf{f}\text{in}\Omega^{\epsilon}\\\nabla\cdot\mathbf{u}&=0\text{in}\Omega^{\epsilon}\\\mathbf{u}&=\mathbf}g}\text{on}\partial\Omega^{\epsilon}\cap\partial \Omega\\\mathbf{u}&=\mathbf}0}\text{on}\partial\Omega^{\epsilon}\cap B_{\epsilon}。\结束{align*}
作者使用具有零均值的经典Lebesgue空间(L^2_0(Omega^{epsilon}),具有消失轨迹的Sobolev空间(H^1_0(\Omega_{epsilen}))及其向量变量(\mathbf)将问题重新表述为变分问题{五} _0(0)=(H^1_0(\Omega^{\epsilon}))^d\)。在\mathbf中查找\((\mathbf{u},p)\{五} _0(0)\乘以L^2_0(\Omega^{\epsilon}),这样\开始{align*}a(\mathbf{u},\mathbf1{v})-b(\mathbf{v},p)&=(\mat血红蛋白{f},\ mathbf})\text{for-all}\mathbf2{v}\in\mathbf{五} _0(0),\\b(\mathbf{u},q)&=0\text{forall}q\在L^2_0(\Omega^{\epsilon})中,\结束{align*}哪里\[a(\mathbf{u},\mathbf1{v})=\int\limits_{\Omega^{\epsilon}}\nabla\mathbf2{u}\cdot\nabla\mathbf{v} dx公司,\quad b(\mathbf{u},q)=\int\limits_{\Omega^{\epsilon}}q\nabla\cdot\mathbf{u} dx。\]
在重新计算之后,他们引入了辅助空间,并使用松弛约束能量最小化来构造压力的多尺度基函数。通过求解一类局部谱问题和约束极小化问题,构造了多尺度基函数。收敛结果在单独一节中给出。

MSC公司:

65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法
65N12号 含偏微分方程边值问题数值方法的稳定性和收敛性
65奈拉 涉及偏微分方程的边值问题的误差界
65K10码 数值优化和变分技术
35克35 与流体力学相关的PDE
76B07型 不可压缩无粘性流体的自由表面势流
65号35 偏微分方程边值问题的谱、配置及相关方法
49米41 PDE约束优化(数值方面)
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参考文献:

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