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实际上阿贝尔集团的无限增长。 (英语) Zbl 1462.20019号

设(G)是由有限加权集(S)生成的幺半群,其中S中的每个(S)具有正整数权重(ω(S))。设\(S^{\ast}\)是\(S\)字母中的所有单词的集合,以及\(G中的上一行{\sigma}\)对应于\(S#{\ast{\)的组元素。在S^{ast}\中,\(\sigma=\sigma_1}\sigma_2}\ldots\sigma_{k}\的权重是\(\omega(\sigma)=\sum_{i=1}^{k}\omega)\),\(\sigma\)的单词长度是\(k\)。(g在g中的加权长度为(g)=min\{omega(sigma)\mid\overline{sigma}=g,S^{ast}\}中的sigma。如果一个单词\(S^{\ast}中的\sigma\)以最小的重量表示\(\overline{\sigma}\),即\(\omega(\sigma)=\ell_{\omega}(\overrine{\sigma})\),那么它就是测地线。
这个测地增长函数\(\gamma_{S}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)最多计算权重为\(N\)的测地线单词。组\(G\)具有多项式测地增长(关于\(S\))如果每个\(N>0)都有常数\(β,d\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\)使得\(gamma_{S}(N)\leq\beta\cdot N^{d}\),并且指数测地增长如果有一个常数\(\alpha\in\mathbb{R}\)与\(\alpha>1\),使得每个\(n\geq 0\)都有\(\amma_{S}(n)\leq\alpha^{n}\)。(G)的测地增长级数是幂级数(f_{S}(z)=sum_{n=0}^{infty}\gamma_{S{(n)z^{n})。
在本文中,作者证明了任何有限生成的虚阿贝尔群的测地增长函数是多项式或指数的,并且测地增长级数是完整的,在多项式增长情况下是有理的。此外,他证明了测地线的语言是盲多计数器(精确定义见论文)。

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20层65 几何群论
2010年1月20日 单词问题、其他决策问题、与逻辑和自动机的联系(群体理论方面)
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参考文献:

[1] Gromov,M.,多项式增长和扩张映射群,Publ。数学。IHéS,53,1,53-73(1981)·Zbl 0474.20018号
[2] Grigorchuk,R.I.,《关于群体增长的米尔诺问题》,Dokl。阿卡德。Nauk SSSR,271,1,30-33(1983)
[3] Mann,A.,《群体如何成长》,伦敦数学学会讲座笔记系列,第395卷(2012年),剑桥大学出版社:剑桥大学出版社·Zbl 1253.20032号
[4] Nekrashevych,V.,《自相似群体,数学调查和专著》,第117卷(2005),美国数学学会:美国数学学会普罗维登斯,RI·Zbl 1087.20032号
[5] de la Harpe,P.,《几何群论主题》,芝加哥数学讲座(2000年),芝加哥大学出版社:芝加哥大学出版社,伊利诺伊州芝加哥·Zbl 0965.20025号
[6] 巴托尔迪,L。;格里戈丘克,R。;Nekrashevych,V.,《从分形群到分形集》(Fractals in Graz 2001)。Graz分形2001,趋势数学。(2003年),Birkhäuser:Birkháuser Basel),第25-118页·Zbl 1037.2004年10月
[7] Bridson,M.R。;布里略,J。;Elder,M。;Šunić,Z.,关于测地增长为多项式的群,《国际代数计算》。,第22、5条,第1250048页(2012年)·Zbl 1252.20040号
[8] Shapiro,M.,阿贝尔群和双曲群中的Pascal三角形,J.Aust。数学。社会学硕士,63,2,281-288(1997)·Zbl 0893.20028号
[9] Benson,M.,\(\mathbb{Z}^n\)的有限扩张的增长级数是有理的,Invent。数学。,73, 2, 251-269 (1983) ·Zbl 0498.20022号
[10] Evetts,A.,《阿贝尔群中的理性增长》,伊利诺伊州数学杂志。,63, 4, 513-549 (2019) ·Zbl 1515.20217号
[11] Massazza,P.,《全息函数及其与线性约束语言的关系》,RAIRO Theor。通知。申请。,271491-161(1993年)·Zbl 0781.68079号
[12] Greibach,S.A.,关于盲和部分盲单向多计数器的评论,Theor。计算。科学。,7, 3, 311-324 (1978) ·Zbl 0389.68030号
[13] Gromov,M.,双曲群,(《群论论文》,群论论文,数学科学研究所出版,第8卷(1987),施普林格:施普林格纽约),75-263·Zbl 0634.20015
[14] 爱泼斯坦,D.B.A。;坎农,J.W。;霍尔特,D.F。;利维,S.V.F。;帕特森,M.S。;瑟斯顿,W.P.,《群组中的文字处理》(1992),琼斯和巴特利特出版社:琼斯和巴特利特出版社,马萨诸塞州波士顿·2017年7月64日
[15] 克利里,S。;Elder,M。;Taback,J.,《点灯器群和汤普森群F的锥类型和测地语言》,J.代数,303,2476-500(2006)·兹伯利1115.20032
[16] Elder,M.,《规则测地语言与同行属性的证伪》,代数几何。白杨。,5, 129-134 (2005) ·Zbl 1076.20030号
[17] Fekete,M.,《Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten》,数学。Z.,17,1,228-249(1923)·JFM 49.0047.01号
[18] 弗拉乔莱特,P。;Sedgewick,R.,分析组合数学(2009),剑桥大学出版社:剑桥大学出版社·Zbl 1165.05001号
[19] Wasow,W.,《常微分方程的渐近展开》,《纯粹与应用数学》,第十四卷(1965),跨学科出版社John Wiley&Sons,Inc.:跨学科出版社约翰·威利&Sons·兹伯利0169.10903
[20] Lipshitz,L.,D-有限幂级数,J.代数,122,2,353-373(1989)·Zbl 0695.12018号
[21] Carlson,F.,U ber Potensreihen mit ganzzahligen Koeffizienten,数学。Z.,9,1-2,1-13(1921)·JFM 48.1208.02号
[22] M.O.拉宾。;Scott,D.,《有限自动机及其决策问题》,IBM J.Res.Dev.,3114-125(1959)·Zbl 0158.25404号
[23] Shapiro,M.,《上下文敏感语言和单词问题注释》,《国际代数计算》。,4, 4, 493-497 (1994) ·Zbl 0832.20052号
[24] 穆勒,D.E。;Schupp,P.E.,《群、目的论和上下文无关语言》,J.Comput。系统。科学。,26, 3, 295-310 (1983) ·Zbl 0537.20011号
[25] Elder,M。;Kambits,M。;Otheimer,G.,《关于群和计数器自动机》,《国际代数计算》。,18, 8, 1345-1364 (2008) ·兹比尔,2021年11月17日
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