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公制空间的随机粘合。 (英语) Zbl 1454.60024号

用(lambda_n){n\ge1})和((omega_n)}{n\ge1})两个非负实数序列表示,这两个实数序列将是度量空间的缩放因子和权重,它们是粘合的。所有比例因子\(\lambda_n)_{n\ge1}\)被认为是严格正的,但除\(\omega_1\)外,权重可能为零。注意,如果(lambda_n){n\ge1}=(omega_n)},则模型与[N.居里B.哈斯,Ann.Inst.Fourier 67,第5期,1963–2001(2017;Zbl 1404.60020号)]. 用\((mathbf b_n)_{n\ge 1}\)表示长度为(lambda_n){n\ge1}的段,在一端生根并赋予Lebesque测度,使其归一化,从而使其各自的总测度为((omega_n)}(或为具有重量消失)。设((mathcal T_n){n\ge 1})是一个通过粘合这些树枝来增加树的序列,如下所示。首先,\(\mathcal T_1=\mathbf b_1\)。然后,如果构造\(\mathcal T_n\),则首先构造\(\mathcal T_{n+1}\)对一个点(X_n)进行采样,该点与通过聚集集中在分支(mathbf b_1,dots,mathbf b _n)上的度量值(mu_n)成比例地选择,然后通过标识将(mathbfb_{n+1})粘合到(mathcal T_n)上其根带有\(X_n\)。设\(mathcal T^*\)是树\(mathcal T_n\)对\(n\ge 1)的递增并,\(matchal T^*)是树的完成。作者计算了结果树的Hausdorff维数,其中\(lambda_n){n\ge1})和\(omega_n)}表现为\(n)的幂,例如\(lampda_n=n^{-\alpha})与\(omega _n=n*{-\beta})。然而,在特定的情况下,\(\mathcal L=\mathcall T\setminus\mathcar T^*\),\(\ dim_H(\ mathcal L)=\frac{1}{\alpha}(\ dim _H(\cdot)\)代表Hausdorff维数),如[loc.cit.]中所示,[loc.cit.]中没有出现的一种新现象发生在\(beta>1)(权重之和是有限的)和\(alpha<1)(总长度是无限的)情况下。在这种情况下,(mathcal T)的Hausdorff维数依赖于(alpha)和(beta)。作者推广了序列((mathbfb_n)是更一般的度量空间的模型(见定理1)。定理1的假设相当普遍,各种已知模型都属于这种情况,参见[loc.cit.]和[N.罗斯Y.Wen先生,电子。J.概率。23,第5号论文,35页(2018年;Zbl 1390.60046号)]. 论文组织如下。第1节回顾了模型的定义,建立了一些符号,并讨论了一些一般属性。在第二节中,作者研究了(mathcal T_n)上的归一化(上划线{mu}_n)并证明它在适当的假设下收敛于\(\mathcal T\)上的测度\(\overline{\mu}\)。在第3.1节中,作者在一些相对较弱的假设下证明了(mathcal T)的几乎必然紧性及其Hausdorff维数的一些上界。第3.2节开发了一种新的方法,允许获得一些参数的更好上界,而前者对于这些参数来说并不是最优的。在第4节中,构造了与第3节中获得的上界相匹配的下界。它再次分为两个小节,每个小节提供了一个仅对某些参数选择有效的证明\(\alpha\)和\(\beta\)。附录中收集了所需的一些技术事实。

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60D05型 几何概率与随机几何
53元65角 整体几何结构
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