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克日什托夫·卡普尔金；彼得·勒法努·卢姆斯代恩

具有属性的类别中的同伦逆图。 （英语） Zbl 1453.18007号

J.纯应用。代数 225，第4期，文章ID 106563，44页（2021）.
本文讨论带属性的类别（CwA）。这是允许对类型理论进行代数处理的几种分类形式之一。它们构成了一种适用于处理依赖型的形式主义。CwA附带了额外的结构，用于捕获上下文的扩展，因此对于变量的上下文\（\Gamma\）和上下文中的类型\（a\），可以形成上下文\（\ Gamma.a\）以允许出现类型\（a \）的新变量。特别地，CwA（\mathcal{C}）是一个类别，其终端对象（对应于空上下文）配备有对象（\Gamma.a\In\mathca{C}\）的前缀（Ty\colon\mathcal{C}^{op}\ to \mathrm{Set}\）（上下文类型\（\Gamma\In\mathcal{C}\））和赋值，对于对象的每种类型\（Ty（\Gamm）中的a\，\）以及投影图（\Gamma.a\到\Gamma\），这样，当上下文发生变化时（\Gamma\到\Delta），一个明显的正方形就变成了拉回。
作者研究了在逆范畴的图范畴（mathcal{C}^mathcal}I}）的形成下这种结构的行为\（mathcal{I}.\）后者是具有以下特征的范畴：在对偶范畴中，由两个对象之间的非同一箭头的存在所诱导的关系是一个有充分依据的排序，每个对象都有有限多个与其相关的前驱。然后，图表类别配备了CwA的结构（这是本文第3节的内容）。这个框架中出现了一些自然的问题。首先，如果CwA（\mathcal{C}）携带身份，或（\Sigma\）-或（\Pi\）-类型，那么（\mathcal{C{^\mathcal{I}）也会做同样的事情吗？作者肯定地回答了这个问题（答案见文章第4节）。第二，当（mathcal{C}）和（mathcal{I}）有同伦结构（这里的意思是它们都有一个被称为等价的区别类（mathca{W}）的态射，包含这些恒等式，并且在\（6）中的\（2）下闭合）时，同伦图（那些对等价取等价的图）是否具有CwA结构？作者表明，它们形成了普通图的子CwA（第5节）。此外，如果（mathcal{C}）可以，则它携带恒等式、（Sigma）-和单位类型，如果（mathcal{C}）能够，则它也携带（Pi）-类型，并且（mathcal{I}）中的所有映射都是等价的（命题5.14）。最后，他们给出了函子（mathcal{J}到mathcal}）的条件，使得诱导的[卡普尔金和P.L.卢姆斯代恩高级数学。337, 1–38 (2018;Zbl 1397.18015号)]. 特别地，他们证明了对于CwA（mathcal{C}，），当它是内射的时，有序同伦离散运算（mathcal{J}to mathcal}）在相应的图范畴之间产生了相反的局部运算，而当它是同伦等价时，它诱导了局部等价。
审核人：Panagis Karazeris（帕特拉）

MSC公司：

18 C50 形式语言的范畴语义
03B38型 类型理论
03G30型 分类逻辑，拓扑

关键词：

具有属性的类别；同伦逆图

引文：

Zbl 1397.18015号

软件：

大学数学
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{K.Kapulkin}和\textit{P.L.Lumsdaine}，J.Pure Appl。代数225，第4号，文章ID 106563，44页（2021；Zbl 1453.18007）
全文： 内政部 arXiv公司

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