×
奥德雷格夫；托马斯·维迪克

核规范中的降维界限。 （英语） Zbl 1452.46017号

Klartag，Bo'az（编辑）等人，《函数分析的几何方面》。以色列研讨会（GAFA）2017–2019。第二卷。查姆：斯普林格。莱克特。数学笔记。2266, 279-299 (2020).
让\（\mathsf{S} _1个\)表示Schatten-von Neumann迹类，即所有核线性算子的Banach空间（T:\ell_2 to \ell_2）及其核范数。设\（\mathsf{S} 1个^m\）是所有算子\（T:\ell_2^m\到\ell_2^m\）与其核范数的赋范线性空间。
作者证明了\（\mathsf的几何{S} _1个^m\）与赋范空间（\ell_p^m\）、（1\lep\le\infty）的几何有很大的不同，在以下意义上：在\（\mathsf）中存在一组\（n\）元素{S} _1个^m\）以便将此集合嵌入到\（\mathsf{S} _1个^具有“非常”低失真的d）要求\（d）在\（n）中呈指数形式。
更详细的陈述（摘自摘要）：“对于所有（n→1），我们给出了（m→m）矩阵（A_1，\ldots，A_n）的显式构造，其中（m=2^{lfloorn/2\rfloor}），使得对于满足\【\|A'_i-A'_j\|_{mathsf{S} _1个}\，\leq\，\|A_i-A_j\|_{\mathsf{S} _1个}\，\leq\，（1+\delta）\|A'_i-A'_j\|_{\mathsf{S} _1个} \]对于所有的（i，j，in\{1，\ldots，n\}）和足够小的（delta=O（n^{-c}）），其中（c>0）是一个普适常数，必须是这样的情况：
“我们的证明基于从Clifford代数的表示中导出的矩阵，该表示由反交换厄米矩阵生成，该矩阵与恒等式成平方，并借鉴了量子信息理论中对非局部博弈的分析。”
这一结果与众所周知的K.球[欧洲期刊Comb.11，第4期，305-311（1990；Zbl 0712.46008号)]（1）的（n）-元素子集与（m=frac12n（n-1））的等距嵌入的存在性。
在引理13.19中，作者表明，对于任何（0<delta<1），为证明上述结果而构造的度量空间都可以将失真（1+delta\）嵌入到（mathsf）中{S} _1个^d）表示\（d=n^{O（1/\delta^2）}\）
本文的结果与A.Naor公司等【离散计算几何63，No.2，319–345（2020；Zbl 1442.46017号)]. 然而，结果是不可比较的，因为Naor等人[loc.cit.]考虑将嵌入任何\（\mathsf的子空间{S} _1个\). Naor等人的上述论文还包含（见第322页）关于（mathsf）重要性的信息{S} _1个\)以及它在许多领域的度量属性。
关于整个系列，请参见[Zbl 1446.00030号].
审核人：米哈伊尔·奥斯特罗夫斯基（纽约）

引用于2文件

MSC公司：

46B85号 离散度量空间在Banach空间中的嵌入；拓扑与计算机科学的应用
30升05 度量空间的几何嵌入
46个B07 Banach空间的局部理论
51楼30 Lipschitz与度量空间的粗糙几何
68年12月 与计算问题和算法相关的度量嵌入

关键词：

克利福德代数；尺寸缩减；度量嵌入；核规范；Schatten-von Neumann迹类

引文：

Zbl 0712.46008号；Zbl 1442.46017号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{O.Regev}和\textit{T.Vidick}，莱克特。数学笔记。2266279--299（2020年；Zbl 1452.46017）
全文： DOI程序 arXiv公司 链接

参考文献：

[1] I.Abraham，Y.Bartal，O.Neiman，《度量嵌入理论的进展》。高级数学。228(6), 3026-3126 (2011) ·Zbl 1250.46016号 ·doi:10.1016/j.aim.2011.08.003
[2] A.Andoni，M.S.Charikar，O.Neiman，H.L.Nguyen，中维数缩减的近线性下限ℓ_2011年IEEE第52届计算机科学基础年会（2011年，IEEE计算机学会，洛斯阿拉米托斯），第315-323页·Zbl 1292.68080号
[3] A.Andoni，A.Naor，O.Neiman，关于ℓ_1.技术报告（2018）
[4] K.球。l_p空间中的等距嵌入。《欧洲期刊》第11卷（4），第305-311页（1990年）·Zbl 0712.46008号 ·doi:10.1016/S0195-6698（13）80131-X
[5] R.Bhatia，矩阵分析。数学研究生课文排名169。（施普林格，纽约，1997年）
[6] J.Bougain，J.Lindenstrauss，V.Milman，用分区图逼近分区。数学学报。162(1-2), 73-141 (1989) ·Zbl 0682.46008号 ·doi:10.1007/BF02392835
[7] B.Brinkman，M.Charikar，《关于ℓ_1.J.ACM 52（5），766-788（2005）·Zbl 1310.68199号 ·数字对象标识代码：10.1145/1089023.1089026
[8] A.Connes，注入因子的分类。案例II_1，II_∞，III_λ，λ≠1。安。数学。(2) 104(1), 73-115 (1976) ·Zbl 0343.46042号
[9] T.Gowers，O.Hatami，有限群近似表示的逆定理和稳定性定理。预印arXiv:15100.04085（2015）·Zbl 1427.20022号
[10] A.W.Harrow，A.Montanaro，A.J.Short，《量子维数缩减的限制》。《国际量子杂志》第13（4）、1440001、19期（2015）·兹比尔1327.81086
[11] Z.Ji，D.Leung，T.Vidick，三人连贯的国家贪污游戏。预印arXiv:1802.04926（2018）
[12] W.B.Johnson，J.Lindenstrauss，Lipschitz映射到Hilbert空间的扩展。康斯坦普。数学。26(189-206), 1 (1984) ·Zbl 0539.46017号
[13] K.G.Larsen，J.Nelson，Johnson-Lindenstraus引理的最优性。在2017年第58届IEEE计算机科学基础研讨会上（IEEE计算机学会，洛斯阿拉米托斯，2017），第633-638页
[14] J.R.Lee，A.Naor，《在L_p中嵌入菱形图和在L_1中降维》。地理。功能。分析。14(4), 745-747 (2004) ·Zbl 1069.46005号 ·doi:10.1007/s00039-004-0473-8
[15] J.Matoušek，关于将有限度量空间嵌入赋范空间所需的变形。以色列。数学杂志。93(1), 333-344 (1996) ·Zbl 0851.46007号 ·doi:10.1007/BF02761110
[16] A.Naor，稀疏二次型及其几何应用[跟随Batson，Spielman和Srivastava]。阿斯特里斯克，（348）：实验编号1033，viii，189-217。Séminaire Bourbaki，第2010/2011卷。1027-1042年博览会（2012年）·Zbl 1264.15024号
[17] A.Naor，G.Pisier，G.Schechtman，《核规范中降维的不可能性》，第29届ACM-SIAM交响乐会论文集。离散算法（SODA 18）（SIAM，费城，2018）。arXiv:1710.08896。https://arxiv.org/abs/1710.08896 ·Zbl 1412.46036号
[18] I.Newman，Y.Rabinovich，有限体积空间和稀疏化。技术报告（2010）。arXiv:1002.3541。https://arxiv.org/abs/1002.3541
[19] S.Okubo，有限Clifford代数的实表示。I.分类。数学杂志。物理学。32(7), 1657-1668 (1991) ·Zbl 0748.15026号
[20] D.Ostrev，T.Vidick，XOR游戏中近似量子策略的纠缠。量子信息计算。18(7-8), 0617-0631 (2018)
[21] O.Regev，L_1中基于熵的降维界限。以色列。数学杂志。195（2），825-832（2013）。arXiv:1108.1283。https://arxiv.org/abs/1108.1283 ·Zbl 1311.68176号
[22] G.Schechtman，关于将L_p的子空间嵌入到\（L^n_r）中的更多内容。作曲。数学。61(2), 159-169 (1987) ·Zbl 0659.46021号
[23] W.Slofstra，至少具有次指数超线性轮廓的群。预印arXiv:1806.05267（2018）
[24] W.Slofstra，T.Vidick。非本地游戏中的纠缠和群体的超线性轮廓，摘自《安纳莱斯·亨利·蓬卡雷年鉴》（施普林格，柏林，2018）·Zbl 1401.81018号
[25] S.J.Summers，R.Werner，贝尔不等式的最大违反在量子场论中是通用的。Commun公司。数学。物理学。110(2), 247-259 (1987) ·Zbl 0626.46056号 ·doi:10.1007/BF01207366
[26] M.Talagrand，将L_1的子空间嵌入到\（L^N_1\）中。程序。阿默尔。数学。Soc.108（2），363-369（1990）·Zbl 0723.46012号
[27] M.Talagrand，《将L_p的子空间嵌入到函数分析的几何方面》（以色列，1992-1994）。《算符理论：进展与应用》，第77卷（Birkhäuser，巴塞尔，1995年），第311-325页
[28] B。
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。