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连续函数子空间的维数有限次达到最大值。 (英语) Zbl 1448.46022号

这是对最初由V.I.古拉里L.夸塔【《数学杂志》,《分析应用》,第294卷,第1期,第62–72页(2004年;兹比尔1053.46014)]. 对于\(A\subsetq\mathbb R,\)let \(\hat{mathcal C}(A)\)表示连续函数集\(f:A\ to mathbb R\),使得\(f\)在一个且只有一个点上达到最大值。除此之外,Gurariy和Quarta[loc.cit.]表明,尽管({mathcal C}(\mathbb R)\cup\{0},\)中确实包含一个二维子空间,但其中不包含任何二维向量空间。使用标准术语,他们询问({mathcal C}(\mathbb R)\cup\{0})对于某些(n\geq 3.)是否可以线性化。这里的主要结果是答案是否定的,即,({mathcal C}(\mathcb R)\ cup\})不能包含三维向量空间。除此之外,巧妙的证明还利用了R.L.Moore的分解结果(参见例如[R.J.Daverman先生,流形的分解。奥兰多等:学术出版社,Harcourt Brace Jovanovich,Publishers(1986;Zbl 0608.57002号)]). 在最后一节中,作者表明,如果在({mathcal C}(mathbb R),)的定义中,将上面的“一个且只有一个点”替换为“正好是(m)点”,那么同样的结果成立。
应该提到的是,以前曾使用过拓扑方法来研究这类问题。例如,查看G.波特略等人[Q.J.Math.65,第3期,841–850(2014;Zbl 1308.46032号)]也就是说,如果(K\subset\mathbbR^n)是紧的,那么包含在({mathcalC}(K)\cup\{0})中的子空间的最大维数是(n)。

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