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格拉斯曼的希尔伯特方案是不连通的。 (英语) Zbl 1442.14020号

设(G(k,n)表示(n)维向量空间的(k)维子空间的格拉斯曼簇参数化。通过与(n=\binom{n}的Plücker嵌入,将(G(k,n))看作是(mathbb P^n)的一个子变种{k} -1个\), 人们可以研究希尔伯特方案{山坡}_{P} (G(k,n))\)用希尔伯特多项式\(P\)。当(k=1)或(k=n-1)时,Plücker嵌入是同构的,因此{山坡}_{P} (G(k,n))由著名的连通性定理连接R.哈特肖恩[数学出版社,高等科学研究院,29,5-48(1966;Zbl 0171.41502号)]. 在本说明中,作者说明了\(\text{山坡}_{P} 当(1<k<n-1)时,(G(k,n))对于所有希尔伯特多项式(P)都是不连通的。
为了精确地说明结果,设\(P_{d,m}\)表示\(\mathbb P^m\)中的次\(d)超曲面的Hilbert多项式。主要定理是{山坡}_{P_{d,m}}(G(k,n))对所有(d\geq3)和(2\leq-m\leqk<n-1)有两个相连的分量。为了实现这一点,作者首先观察到\(\text{山坡}_{P_{d,m}}(mathbb P^N)参数化线性(mathbbP^m\congL\subset\mathbbP ^N)上的度超曲面。然后他使用了皮耶里公式(见D.艾森巴德J.哈里斯[3264等等。代数几何第二门课程。剑桥:剑桥大学出版社(2016;Zbl 1341.14001号)])可以看出,在\(G(k,n)\)中只有两个可能的Schubert类可以对应\(X),并且当\(m>2)时,这两个对应的族给出了两个连通的分量。当\(m=2\)时,对于\(X\)只有一个可能的Schubert类,但是对于\(L\)有两个可能的舒伯特类,这两个类区分了两个相连的分量。

MSC公司:

14二氧化碳 参数化(Chow和Hilbert方案)
14月15日 格拉斯曼流形、舒伯特流形、旗流形
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全文: 内政部

参考文献:

[1] 卡特赖特,D.A。;Erman,D。;贝拉斯科,M。;Viray,B.,Hilbert 8点方案,ANT,3,7,763-795(2009)·Zbl 1187.14005号 ·doi:10.2140/ant.2009.3.763
[2] 艾森巴德,D。;Harris,J.,《方案的几何》(2000),纽约:施普林格出版社,纽约·Zbl 0960.14002号
[3] 艾森巴德,D。;Harris,J.,3264和All That(2016),英国剑桥:剑桥大学出版社,英国剑桥·Zbl 1341.14001号
[4] Hartshorne,R.,《希尔伯特计划的连通性》,29,5-48(1966),法国:《数学杂志》。埃及。美国、托米、法国·Zbl 0171.41502号
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