×
尤瑟夫·海德；孙伟庆

非饱和多孔介质中毛细诱导断裂的相场框架：干燥诱导与水力开裂。 （英语） Zbl 1441.74205号

计算。方法应用。机械。工程师。 359，文章ID 112647，26 p.（2020）.
摘要：本文介绍了一个统一的数学框架，用于复制实验中观察到的低渗透非饱和多孔材料中的干燥诱导和水力压裂。非饱和多孔介质被认为是一种三相固-液-气有效介质，其中每种组分占代表性元素体积的一小部分。因此，基于能量最小化的相场模型（PFM）与Biot的多孔弹性理论一起制定，以复制脆性状态下的亚临界裂纹扩展。与水力压裂不同，水力压裂中多余的孔隙液体压力在裂缝的产生和扩展中起着重要作用，干燥裂缝主要由保水引起的变形驱动。因此，固体骨架的润湿性可能会影响毛细压力（吸力）的演变，并改变多孔介质的路径依赖性响应。这种气-水-固相互作用可能阻碍或加剧开裂的发生。通过在我们的相场断裂方法中引入保持敏感的退化机制，可以复制润湿和干燥过程中毛细效应对裂纹扩展的差异。为了复制基质内部孔隙空间和裂缝的水力行为，引入了因裂缝增长和孔隙度变化而引起的固有渗透率的路径依赖性变化，以模拟开放和闭合裂缝中的流动管道。干裂和水力压裂的数值示例表明，所提出的模型能够捕获不同的裂缝模式，这在质量上与文献中记录的相关实验的破裂机制一致。

引用于27文件

MSC公司：

74兰特 脆性断裂
74层10 流固相互作用（包括空气弹性和水弹性、孔隙率等）

关键词：

非饱和多孔介质；干裂化；水力压裂；相场断裂
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Y.Heider}和\textit{W.Sun}，计算。方法应用。机械。工程359，文章ID 112647，26 p.（2020；Zbl 1441.74205）
全文： 内政部 内政部

参考文献：

[1] Prévost，Jean H.，连续多孔介质力学，国际。工程科学杂志。，18, 6, 787-800 (1980) ·Zbl 0433.73094号
[2] O.C.Zienkiewicz，A.H.C.Chan，M.Pastor，B.A.Schrefler，T.Shiomi，计算地质力学。Citeseer，1999年·Zbl 0932.74003号
[3] 孙伟庆；Jose E.Andrade。；Rudnicki，John W.，多孔微结构表征的多尺度方法及其对宏观有效渗透率的影响，国际。J.数字。方法工程，88，12，1260-1279（2011）·Zbl 1242.74165号
[4] 宋，X。；Borja，R.I.，有限变形范围内非饱和流的数学框架，国际。J.数字。方法工程，97，9，658-682（2014）·Zbl 1352.76115号
[5] 王坤；孙伟庆，湿颗粒材料张量毕晓普系数的各向异性，机械工程学报。，B4015004（2015）
[6] 王坤；孙伟庆，基于有限应变有效应力原理的多孔介质半隐式离散-连续耦合方法，计算。方法应用。机械。工程，304，546-583（2016）·Zbl 1423.76286号
[7] Na、SeonHong；孙伟庆，有限变形范围内多相冻融多孔介质的计算热工水力力学，计算。方法应用。机械。工程，318667-700（2017）·Zbl 1439.74114号
[8] Mikelić，A。；玛丽·惠勒（Mary F.Wheeler）。；Wick，Thomas，多孔弹性介质中流体驱动裂缝的相场模拟，计算。地质科学。，19, 6, 1171-1195 (2015) ·Zbl 1390.86010号
[9] 王凯。；Sun，W.C.，流体过滤多孔介质中相互作用脆性断裂和压实带的统一变分特征腐蚀框架，计算。方法应用。机械。工程师，318，1-32（2017）·Zbl 1439.74373号
[10] Heider，Y。；赖希，S。；Siebert，P。；Markert，B.，参考实验数据，使用多孔介质相场方法进行水力压裂建模，《工程分形》。机械。，202, 116-134 (2018)
[11] Groisman，A。；Kaplan，E.，《干燥引起开裂的实验研究》，Europhys。莱特。，25, 6, 415 (1994)
[12] 埃尔维·佩隆；莱西·拉洛伊；胡良波；Hueckel，Tomasz，《土壤中干燥裂纹模式的形成：确定性方法》，《岩土学报》。，8, 2, 215-221 (2013)
[13] 佩隆，H。；拉洛伊，L。；Hueckel，T。；Hu，L.B.，土壤干燥开裂，欧洲环境杂志。公民。工程师，13，7-8，869-888（2009）
[14] 斯特林，R.A。；Glendinging，S。；Davie，C.T.，《模拟干燥诱导开裂引起的近表面退化》，应用。粘土科学。，146176-185（2017）
[15] Griffith，A.A.，《固体破裂和流动现象》，Phil.Trans。R.Soc.A，221，582-593，163-198（1921）·Zbl 1454.74137号
[16] Irwin，G.R.，《穿过板的裂纹末端附近的应力和应变分析》，J.Appl。机械。，24, 361-364 (1957)
[17] Francfort，G.A。；Marigo，J.J.，《将脆性断裂重新视为能量最小化问题》，J.Mech。物理学。固体，46，8，1319-1342（1998）·Zbl 0966.74060号
[18] 布尔丁，B。；Francfort，G.A。；Marigo，J.J.，《断裂的变化方法》，J.Elasticity，91，1-3，5-148（2008）·Zbl 1176.74018号
[19] 卡恩，J.W。；Hilliard，J.E.，非均匀系统的自由能。i.界面自由能，J.Chem。物理。，28, 258-267 (1958) ·Zbl 1431.35066号
[20] 布尔丁，B。；Francfort，G.A。；Marigo，J.-J.，重温脆性断裂的数值实验，J.Mech。物理学。固体，48，797-826（2000）·Zbl 0995.74057号
[21] 芒福德，D。；Shah，J.，分段光滑函数的最优逼近和相关的变分问题，Comm.Pure Appl。数学。，42, 577-685 (1989) ·Zbl 0691.49036号
[22] 埃尔维·佩隆；莱西·拉洛伊；托马斯·休克尔（Tomasz Hueckel）；胡良波，土壤干燥开裂，欧洲环境杂志。公民。工程师，13，7-8，869-888（2009）
[23] Konrad，J.M。；Ayad，R.，《干燥粘性土壤分析的理想框架》，加拿大。土工技术。J.，34，4，477-488（1997）
[24] Yesiller，N。；Miller，C.J。；印加，G。；Yaldo，K.，三种压实垃圾填埋场衬垫土壤的干燥和开裂行为，工程地质学。，57, 1, 105-121 (2000)
[25] Nahlawi，H。；Kodikara，J.K.，薄土层干燥开裂的实验室试验，岩土工程。地质。工程师，241641-1664（2006）
[26] 科迪卡拉、贾扬塔；Costa，Susanga，《粘性土壤中的干燥开裂：机理和建模》，（Laloui，L.；Ferrari，A.，《土壤和页岩的多物理测试》（2013），斯普林格·柏林-海德堡：斯普林格尔·柏林-海德堡-柏林，海德堡），21-32
[27] 罗德里格斯，R。；桑切斯，M。；莱德斯马，A。；Lloret，A.，采矿废物干燥的实验和数值分析，加拿大。土工技术。J.，44，6，644-658（2007）
[28] 佩隆，H。；Hueckel，T。；拉洛伊，L。；胡立斌，《细粒土干燥开裂的基本原理：实验表征和机理识别》，加拿大。土工技术。J.，46，10，1177-1201（2009）
[29] 佩隆，H。；拉洛伊，L。；胡立波。；Hueckel，T.，《土壤中干燥裂纹模式的形成：确定性方法》，《岩土学报》。，8, 2, 215-221 (2013)
[30] 科斯塔，S。；Kodikara，J。；Shannon，B.，在实验室实验中控制粘土干燥开裂的显著因素，Géotechnique，63，1，18-29（2013）
[31] 桑切斯，M。；曼佐利，O.L。；Guimaráes，L.J.N.，使用网格破碎技术模拟三维干燥土壤裂缝网络，计算。岩土工程。，62, 27-39 (2014)
[32] Vo、T.D。；Pouya，A。；Hemmati，S。；Tang，A.M.，粘性土干燥开裂的数值模拟，使用粘性断裂方法，计算。岩土工程。，85, 15-27 (2017)
[33] Maurini，C。；布尔丁，B。；Gauthier，G。；Lazarus，V.，《通过毛细管中胶体悬浮液的单向干燥获得的裂纹模式：使用二维变分方法的实验和数值模拟》，《国际分形杂志》。，184, 1, 75-91 (2013)
[34] Miehe，C。；Mauthe，S.，多物理问题中断裂的相场建模。第三部分：饱和多孔介质水弹性和水力压裂中的裂缝驱动力，计算。方法应用。机械。工程，304，619-655（2016）·Zbl 1425.74423号
[35] Cajuhi，T。；萨纳维亚，L。；De Lorenzis，L.，变饱和多孔介质中裂缝的相场建模，计算机。机械。，61, 299-318 (2018) ·Zbl 1458.74125号
[36] 洛伦佐·萨纳维亚；Schrefler，B.A。；Steinmann，P.，经历大的非弹性应变的不饱和多孔介质的公式，计算。机械。，28, 2, 137-151 (2002) ·Zbl 1146.74319号
[37] Choo，J。；怀特，J.A。；Borja，R.I.，双重孔隙介质中非饱和流的流体力学建模，国际地质力学杂志。，第D4016002条pp.（2016）
[38] B.Bordin，C.Chukwudozie，K.Yoshioka，水力压裂数值模拟的变分方法，摘自：《2012年SPE年度技术会议和展览论文集》（第SPE 159154卷），第页http://dx.doi.org/10.2118/159154-MS, 2012. ·Zbl 1440.74121号
[39] 基督教弥赫；斯特芬·莫特；Teichtmeister，Stephan，《多孔介质中达西生物型流体传输耦合问题的最小化原则与裂缝相场建模》，J.Mech。物理学。固体，82，186-217（2015）
[40] Z.A.威尔逊。；Landis，C.M.，水力裂缝的相场建模，J.Mech。物理学。固体，96，264-290（2016）·Zbl 1482.74020号
[41] Lee，Sanghyun；玛丽·惠勒（Mary F.Wheeler）。；Wick，Thomas，使用自适应有限元相场模型在多孔介质中的压力和流体驱动裂缝扩展，计算。方法应用。机械。工程，305111-132（2016）·Zbl 1425.74419号
[42] 桑蒂兰，D。；胡安内斯，R。；Cueto-Felgueroso，L.，《多孔弹性介质中水力压裂的相场模型：流体注入和提取下的裂缝扩展、阻滞和分支》，J.Geophys。《固体地球研究》，123、3、2127-2155（2018）
[43] Heider，Y。；Markert，B.，饱和多孔介质中水力压裂的相场建模方法，机械。Res.Commun.公司。，80, 38-46 (2017)
[44] Heider，Y.，饱和多孔介质中的扩散流体驱动脆性断裂，PAMM，18，1（2018）
[45] 埃勒斯，W。；Luo，C.，用于描述动态水力压裂的嵌入多孔介质理论的相场方法，计算。方法应用。机械。工程，315348-368（2017）·Zbl 1439.74107号
[46] 埃勒斯，W。；Luo，C.，多孔介质理论中嵌入的描述动态水力压裂的相场方法，第二部分：裂缝张开指示器，计算。方法应用。机械。工程，341429-442（2018）·Zbl 1440.74123号
[47] Mikelić，A。；惠勒，M.F。；Wick，T.，一种用于传播与周围多孔介质耦合的充液裂缝的相场方法，多尺度模型。模拟。，13, 1, 367-398 (2015) ·Zbl 1317.74028号
[48] Mikelić，A。；惠勒，M.F。；Wick，T.，加压裂缝的准静态相场方法，非线性，28，5，1371-1399（2015）·Zbl 1316.35287号
[49] Miehe，C。；Mauthe，S。；Teichtmeister，S.，《与裂缝相场建模相关的多孔介质中达西-生物型流体传输耦合问题的最小化原则》，J.Mech。物理学。固体，82，186-217（2015）
[50] 李相铉；米凯利奇，安德罗；玛丽·惠勒（Mary F.Wheeler）。；Wick，Thomas，多孔弹性介质中支撑剂填充裂缝的相场模拟，计算。方法应用。机械。工程（2016）·Zbl 1401.74084号
[51] van Duijn，C.J。；米凯利奇，安德罗；Wick，Thomas，非线性孔隙弹性介质中流体驱动裂缝的整体相场模型，数学。机械。固体（2018）·兹比尔1446.74203
[52] Réthoré，J。；德博斯特，R。；Abellan，M.A.，《裂缝性多孔介质中流体流动的双尺度方法》，国际。J.数字。方法工程，71，7，780-800（2007）·Zbl 1194.76139号
[53] 塞奇，S。；西蒙尼，L。；Schrefler，B.A.，《水力压裂及其特点》，亚太地区。J.计算。工程（2014）
[54] 曹，T.D。；侯赛因，F。；Schrefler，B.A.，《多孔介质压裂动力学：逐步裂纹推进和流体压力振荡》，J.Mech。物理学。固体，111，113-133（2018）·Zbl 1441.74063号
[55] Lecampion，B。；Desroches，J。；Jeffrey，R.G。；Bunger，A.P.，《低渗透材料中径向水力裂缝萌生和扩展的实验与理论》，J.Geophys。研究固体地球，122，21239-1263（2017）
[56] Detournay，E.，《水力压裂力学》，年。Rev.流体机械。，48, 1, 311-339 (2016) ·Zbl 1356.74181号
[57] 桑蒂兰，D。；Juanes，R。；Cueto-Felgueroso，L.，弹性介质中流体驱动裂缝的相场模型：浸没裂缝公式和分析解验证，J.Geophys。《固体地球研究》，122、4、2565-2589（2017）
[58] Jain，A.K。；Juanes，R.，《沉积物中气体侵入的优先模式：多相流体流动和沉积物力学耦合的粒度力学模型》，J.Geophys。《固体地球研究》，114，B8（2009）
[59] 埃勒斯，W。；格拉芙，T。；Ammann，M.，部分饱和土壤的变形和局部化分析，计算。方法应用。机械。工程，193，27，2885-2910（2004）·Zbl 1067.74543号
[60] Schrefler，B.A。；Scotta，R.，可变形多孔介质中两相流体流动的完全耦合动力学模型，计算。方法应用。机械。工程，190，24，3223-3246（2001）·Zbl 0977.74019号
[61] Uzuoka，R。；Borja，R.I.，有限应变下非饱和多孔弹性固体的动力学，国际期刊数值。分析。方法地质力学。，1535-1573（2012年）
[62] van Genuchten，M.T.，预测非饱和土壤导水率的封闭式方程，土壤科学。Soc.Amer公司。J.，44，892-898（1980）
[63] 博尔贾，R.I。；White，J.A.，《不饱和多孔介质中流体力学耦合过程的守恒定律》，185-208（2013），Wiley Blackwell，第8章
[64] 马萨诸塞州费利帕。；帕克，K.C。；Farhat，C.，耦合机械系统的分区分析，计算。方法应用。机械。工程，190，3247-3270（2001）·兹伯利0985.76075
[65] Markert，B.，《计算力学中选定耦合多场问题的调查》，J.耦合系统。多尺度动态。，27, 22-48 (2013)
[66] Sun，W。；奥斯汀，J.T。；塞林格，A.G.，有限应变下强耦合孔隙力学模拟的稳定假设变形梯度有限元公式，国际J·数值。分析。方法地质力学。，37,2755-2788（2013年）
[67] Sun，W。；陈，Q。；Ostien，J.T.，饱和湿陷性岩土材料上条形和圆形基脚的水力机械响应建模，岩土学报。，9, 903-934 (2014)
[68] Sun，W.C。；蔡，Z。；Choo，J.，多尺度孔隙力学问题的混合阿勒模型方法，国际。J.数字。方法工程（2016）
[69] Ehlers，W.，《多相多孔材料的基础》（Ehler，W.；Bluhm，J.，《多孔介质：理论、实验和数值应用》（2002），Springer-Verlag:Springer-Verlag Berlin），3-86·Zbl 1062.76050号
[70] 马修·纳特（Mathieu Nuth）；Laloui，Lyesse，《变形土壤滞回持水曲线建模进展》，计算。岩土工程。，35, 6, 835-844 (2008) ·Zbl 1273.74293号
[71] 加文，D。；Schrefler，B.A.，有效应力原理：增量形式还是有限形式？，国际期刊数字。分析。方法地质力学。，第20页，第11页，第785-814页（1996年）
[72] 王坤；孙伟庆，含嵌入不连续面的双渗透裂隙多孔介质的更新拉格朗日lbm-dem-fem耦合模型，计算。方法应用。机械。工程，344，276-305（2019）·Zbl 1440.74449号
[73] Coussy，Olivier，《孔隙力学》（2004），John Wiley&Sons·Zbl 1120.74447号
[74] 孙伟庆；雅各布·T·奥斯汀。；塞林格，安德鲁·G，有限应变下强耦合孔隙力学模拟的稳定假设变形梯度有限元公式，国际J·数值。分析。方法地质力学。，37,2755-2788（2013年）
[75] Sun，WaiChing，有限应变下整体热工水力机械模拟的稳定有限元公式，国际。J.数字。方法工程，103，11，798-839（2015）·Zbl 1352.76116号
[76] 罗纳尔多·博尔贾。；Koliji，Azad，《关于双重孔隙非饱和多孔连续介质中的有效应力》，J.Mech。物理学。固体，57，8，1182-1193（2009）·Zbl 1425.74310号
[77] Choo，J。；Sun，W.C.，《孔隙中结晶的开裂和损伤：化学-水力-机械和相场耦合建模》，计算。方法应用。机械。工程，335347-379（2018）·Zbl 1440.74358号
[78] Bishop，A.W.，有效应力原理，Tek。乌克兰。，399-863（1959年）
[79] Schrefler，B.A.，《土壤固结中的有限元方法（应用于地面沉降）》（1984年），斯旺西大学学院（博士论文）
[80] 阿隆索，E.E。；佩雷拉，J.-M。；沃纳特，J。；Olivella，S.，非饱和土壤基于微观结构的有效应力，Géotechnique，60，12，913-925（2010）
[81] Miehe，C。；霍法克，M。；Welschinger，F.，速率相关裂纹扩展的相场模型：基于算子分裂的稳健算法实现，计算。方法应用。机械。工程，199，45-48，2765-2778（2010）·Zbl 1231.74022号
[82] 库恩，C。；Müller，R.，《断裂的连续相场模型》，《工程分形》。机械。，77, 3625-3634 (2010)
[83] 帕蒂尔，S.P。；Heider，Y。；Hernandez-Padilla，C.A。；克鲁兹·库·E.R。；Markert，B.，脆性断裂的比较分子动力学相场建模方法，计算。方法应用。机械。工程，312,8117-129（2016）·Zbl 1439.74369号
[84] Ambati，M。；Gerasimov，T。；De Lorenzis，L.，《脆性断裂的相场模型和新的快速混合公式综述》，计算。机械。，55, 2, 383-405 (2014) ·Zbl 1398.74270号
[85] 温伯格，K。；Hesch，C.，断裂的高阶有限变形相场方法，Contin。机械。Thermodyn公司。(2015) ·Zbl 1352.74021号
[86] 基督教弥赫；Aldakheel，Fadi；Teichtmeister，Stephan，有限应变下延性断裂的相场建模：通过微观形态正则化对梯度扩展理论进行稳健的基于变量的数值实现，Internat。J.数字。方法工程，111，9，816-863（2017）
[87] 埃里克·C·布莱恩特。；孙伟庆，各向异性岩石中具有一致运动学的混合模式相场断裂模型，计算。方法应用。机械。工程，第页（2018年）·Zbl 1440.74218号
[88] Miehe，C。；Mauthe，S。；Teichtmeister，S.，多孔介质中Darcy-Biotype流体传输耦合问题的最小化原则，与裂缝相场建模相关，J.Mech。物理学。固体，82，186-217（2015）
[89] 丘库多西，丘库迪；布莱斯·伯丁；Yoshioka，Keita，多孔介质水力压裂的变相场模型，计算。方法应用。机械。工程，347957-982（2019）·Zbl 1440.74121号
[90] Haimson，B.C.，《高孔隙度砂岩中的裂缝状钻孔破裂：它们是由压实带引起的吗？》？，物理学。化学。地球A，26，1-2，15-20（2001）
[91] Miehe，C。；Schänzel，L.M。；Ulmer，H.，多物理问题中断裂的相场建模。第一部分：热塑性固体中脆性裂纹扩展的裂纹表面平衡和失效准则，计算。方法应用。机械。工程师，294449-485（2015）·Zbl 1423.74838号
[92] Pijaudier-Cabot，Gilles；弗莱德里克·杜福尔；Choinska，Marta，《混凝土损伤增加引起的渗透性：从扩散到局部损伤分布》，J.Eng.Mech。，135, 9, 1022-1028 (2009)
[93] 赛义德·拉希米·阿格达姆；越团洲；Lee，Hyunjin；阮、黄；李维新；卡拉，萨蒂什；埃斯特班·鲁吉尔（Esteban Rougier）；哈里·维斯瓦纳坦；戈瑞·斯里尼瓦桑；Baíant，Zdeněk P.，水力裂缝的分支，使天然裂缝闭合的天然气或油页岩具有渗透性，Proc。国家。阿卡德。科学。，116, 5, 1532-1537 (2019)
[94] 威瑟斯彭、保罗·亚当斯；Joseph S.Y.Wang。；Iwai，K。；Gale，John E.，《可变形岩石裂缝中流体流动的立方定律的有效性》，《水资源》。第16、6、1016-1024号决议（1980年）
[95] Nguyen，T.T。；Yvonnet，J。；朱庆珍。；博内特，M。；Chateau，C.，一种相场方法，用于通过微观形貌获得的真实微观结构中界面损伤与裂纹扩展相互作用的计算建模，计算。方法应用。机械。工程，312，附录C，567-595（2016）·Zbl 1439.74243号
[96] Lee，Sanghyun；玛丽·惠勒（Mary F.Wheeler）。；Wick，Thomas，流体、地质力学和自适应相场断裂的迭代耦合，包括水平裂缝宽度方法，J.Compute。申请。数学。，314, 40-60 (2017) ·兹比尔1388.76140
[97] Rutqvist，J。；Noorishad，J。；曾家富。；Stephansson，O.，《使用高压注入测试测定硬质岩石中的裂缝储存率》，《水资源》。第34、10、2551-2560号决议（1998年）
[98] 胡，M。；Rutqvist，J。；Wang，Y.，分析含离散裂隙多孔岩体中完全耦合水力-力学过程的数值流形方法模型，Adv.Water Resour。，102111-126（2017）
[99] 斯科特斯，L。；Hicher，P.-Y。；F.尼科特。；Chareyre，B。；Darve，F.，《关于湿颗粒材料中的毛细应力张量》，国际期刊数值。分析。方法地质力学。，33, 10, 1289-1313 (2009) ·Zbl 1273.74058号
[100] 亚历山大·施梅因克；卢卡斯·戈林；Hemmerle，Arnaud，模型粘性粒状材料的断裂，软物质，13，1040-1047（2017）
[101] 艾伦，S.M。；Cahn，J.W.，《反相边界运动的微观理论及其在反相畴粗化中的应用》，《计量学报》。，27, 1085-1095 (1979)
[102] 北卡罗来纳州莫兰斯。；布兰帕因，B。；Wollants，P.，《微观结构演化的相场建模简介》，CALPHAD，32，2，268-294（2008）
[103] Miehe，C。；Welschinger，F。；Hofacker，M.，《断裂的热力学一致相场模型：变分原理和多场有限元实现》，国际。J.数字。方法工程，83，10，1273-1311（2010）·Zbl 1202.74014号
[104] 弗莱蒙德，M。；Nedjar，B.，《损伤、损伤梯度和虚功原理》，国际固体结构杂志。，33, 1083-1103 (1996) ·Zbl 0910.73051号
[105] Frémond，M.，《非光滑热力学》（2002），施普林格：施普林格柏林·Zbl 0990.80001号
[106] 齿轮，C.W。；莱姆库勒，B。；Gupta，G.K.，带约束的欧拉-拉格朗日方程的自动积分，J.Compute。申请。数学。，12-13, 77-90 (1985) ·Zbl 0576.65072号
[107] Markert，B。；Heider，Y。；Ehlers，W.，动态多孔介质问题整体解和分裂解方案的比较，国际。J.数字。方法工程，82，1341-1383（2010）·Zbl 1188.74065号
[108] Obaid，A。；图雷克，圣。；Heider，Y。；Markert，B.，大应变动态孔隙弹性问题的基于牛顿-多重网格的新型整体有限元解方案，国际。J.数字。方法工程，109，8，1103-1129（2017）
[109] 斯威登，阿卜杜勒·哈桑；Yousef Heider；Markert，Bernd，使用相场多孔介质方法对基于pcm的增强型潜热存储系统进行建模，Contin。机械。Thermodyn公司。(2019) ·Zbl 1506.74239号
[110] 豪厄尔，J.S。；Walkington，N.J.，双重鞍点问题的Inf-sup条件，数值。数学。，118, 4, 663 (2011) ·Zbl 1230.65128号
[111] Stirling，R.A.，《压实土壤中干燥开裂的多相建模》（2014），纽卡斯尔大学
[112] Cordero，J.A。；Useche，G。；普拉特，P.C。；莱德斯马，A。；Santamarina，J.C.，作为一种吸力压缩过程的土壤干燥开裂，Géotech。莱特。，7, 4, 279-285 (2017)
[113] Christoph Clauser、Karen Willbrand、Martin Ziegler、Martin.Feinendegen、Philipp Siebert、Thomas-Peter Fries、Nikolai Weber、Verbundprojekt 0325167:Entwicklung eines Werkzeugs zur Auslegung von HDR-Rissystemen:Endbericht:01。2010-30. 2015年6月。2015http://dx.doi.org/10.2314/GBV:870586319。
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。