莱赫·班杰;Jens M.Melenk。;里卡多·H·诺切托。;恩里克·奥塔罗拉;Abner J.萨尔加多。;克里斯托夫·施瓦布 光谱分数扩散的张量有限元法。 （英语） Zbl 1429.65272号 找到。计算。数学。 19，第4号，901-962（2019）. 摘要：我们设计并分析了几种应用于Caffarelli-Silvestre延拓的有限元方法（FEM），这些方法利用Dirichlet边界条件在有界区域中定位对称、强制、线性椭圆算子的分数次幂。我们考虑开的，有界的，多凸的，但不一定是凸域（varOmega\subset\mathbb{R}^d\）和（d=1,2\）。对于Caffarelli-Silvestre扩张的解，我们建立了关于扩张变量（y在（0，infty）中）的解析正则性。具体来说，该解属于解析函数关于\（y）的可数赋范幂指数加权Bochner空间，取\（varOmega）中角加权Kondrat’ev型Sobolev空间中的值。在（varOmega\subset\mathbb{R}^2）中，我们用连续的分段线性拉格朗日有限元法（P_1-FEM）在角点附近进行网格加密，并证明了在表示分数幂的（0<s<1）的相容数据（f\In\mathbb{H}^{1-s}（varOmega））下，获得了一阶收敛速度。我们还证明了（varOmega）中的（P_1）-FEM与扩展变量中合适的（hp）-FIM的张量化相对于（{mathscr{N}}_varOmega\）、域中的自由度数达到对数线性复杂度。此外，我们提出了一部小说，稀疏张量积有限元基于（varOmega）中的多级（P_1）-FEM和扩展变量中基于根几何网格的（P_1-FEM。我们证明了该方法还实现了关于\（{\mathscr{N}}_\varOmega\）的对数线性复杂度。最后，在更强的假设下，数据是分析性的不兼容\（\partial\varOmega\），我们建立谱分数阶扩散算子的（hp）-FEM指数收敛速度在能量标准中。这是通过对截断圆柱体中Caffarelli-Silvestre扩张的组合张量积（hp）-有限元法实现的，该截断圆柱体具有向（partial\varOmega）方向细化的各向异性几何网格（0，mathscr{Y}）。我们还报告了模型问题的数值实验，验证了理论结果。我们指出了所提出的方法对其他问题类和对\（\partial\varOmega\）上的其他边界条件的一些扩展和推广。 引用于29文件 MSC公司： 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 35J25型 二阶椭圆方程的边值问题 35兰特 分数阶偏微分方程 65N12号 含偏微分方程边值问题数值方法的稳定性和收敛性 关键词：分数扩散;非局部算子;加权Sobolev空间;正则性估计;有限元;各向异性\（hp\）-细化;角点细化;稀疏网格;指数收敛 软件：DLMF公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Banjai}等人，发现。计算。数学。19，第4号，901-962（2019；Zbl 1429.65272） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Abramowitz，M.，Stegun，I.：《带公式、图表和数学表的数学函数手册》，国家标准局应用数学系列，第55卷。供华盛顿特区美国政府印刷局文件主管出售（1964年）·Zbl 0171.38503号 [2] Acosta，G.，Borthagaray，J.：分数拉普拉斯方程：解的正则性和有限元近似。SIAM J.数字。分析。55(2), 472-495 (2017). https://doi.org/10.1137/15M1033952。 ·Zbl 1359.65246号 ·doi:10.1137/15M1033952 [3] 亚当斯，R.：索波列夫空间。学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich的子公司，出版商]，纽约-朗顿出版社（1975年）。《纯粹与应用数学》第65卷·Zbl 0314.46030号 [4] Ahlfors，L.：《复杂分析》，第三版。McGraw-Hill Book Co.，纽约（1978年）。《纯粹数学与应用数学国际系列》一复变量解析函数理论简介·兹比尔1477.30001 [5] Apel，T.：各向异性有限元网格上非光滑函数的插值。M2AN数学。模型。数字。分析。33(6), 1149-1185 (1999). https://doi.org/10.1051/m2an:199139。 ·Zbl 0984.65113号 ·doi:10.1051/m2an:199139 [6] Apel，T.，Melenk，J.：有限元空间中的插值和准插值。收录：E.Stein，R.de Borst，T.Hughes（编辑）计算力学百科全书，第二版。，第1-33页。英国奇切斯特John Wiley&Sons出版社（2018年）。扩展预打印http://www.asc.tuwien.ac.at/preprint/2015/asc39x2015.pdf。 [7] Aurada，M.，Feischl，M.，Führer，T.，Karkulik，M.，Praetorius，D.：超奇异积分方程自适应边界元法的基于能量范数的误差估计。申请。数字。数学。95, 15-35 (2015). https://doi.org/10.1016/j.apnum.2013.12.004。 ·Zbl 1320.65184号 ·doi:10.1016/j.apnum.2013.12.004 [8] Babuška，I.，Guo，B.：曲面边界域有限元方法的[h]h-[p]p版本。SIAM J.数字。分析。25(4), 837-861 (1988). https://doi.org/10.1137/0725048。 ·Zbl 0655.65124号 ·doi:10.1137/0725048 [9] Bţcu \355»，C.，Li，H.，Nistor，V.：锥点域上的微分算子：精确一致正则性估计。鲁梅因数学评论。Pures应用程序。62（3），383-411（2017）·Zbl 1399.35171号 [10] Bernardi，C.，Dauge，M.，Maday，Y.：索波列夫世界中的多项式（第2版）。技术报告14，IRMAR（2007）。https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00153795。 [11] Birman，M.，Solomjak，M.：Spektralnaya teoriya samosopryazhennykh operatorov v gilbertovim prostranstve。列宁格勒。列宁格勒大学（1980） [12] Bonito，A.、Borthagaray，J.P.、Nochetto，R.H.、Otárola，E.、Salgado，A.J.：分数扩散的数值方法。科学计算与可视化（2018）。https://doi.org/10.1007/s00791-018-0289-y。 ·兹伯利07704543 [13] Bonito，A.，Pasciak，J.：椭圆算子分数幂的数值逼近。数学。公司。84(295), 2083-2110 (2015). https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2015-02937-8。 ·Zbl 1331.65159号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2015-02937-8 [14] Brändle，C.，Colorado，E.，de Pablo，A.，Sánchez，U.：涉及分数拉普拉斯算子的凹-凸椭圆问题。程序。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A 143（1），39-71（2013）。https://doi.org/10.1017/S0308210511000175。 ·Zbl 1290.35304号 ·doi:10.1017/S0308210511000175 [15] Cabré，X.，Sire，Y.：分数阶拉普拉斯非线性方程II：解的存在性、唯一性和定性性质。事务处理。阿默尔。数学。Soc.367（2），911-941（2015）。https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05906-0。 ·Zbl 1317.35280号 ·doi:10.1090/S0002-9947-2014-05906-0 [16] Cabré，X.，Tan，J.：涉及拉普拉斯平方根的非线性问题的正解。高级数学。224（5），2052-2093（2010）。https://doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.025。 ·Zbl 1198.35286号 ·doi:10.1016/j.aim.2010.01.025 [17] Caffarelli，L.，Silvestre，L.：与分数拉普拉斯算子相关的一个推广问题。通信部分。微分方程32（7-9），1245-1260（2007）。https://doi.org/10.1080/03605300600987306。 ·兹比尔1143.26002 ·数字对象标识代码：10.1080/03605300600600987306 [18] Caffarelli，L.，Stinga，P.：分数阶椭圆方程，Caccioppoli估计和正则性。Ann.Inst.H.PoincaréAna。《非利奈尔》33（3），767-807（2016）。https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2015.01.004。 ·兹比尔1381.35211 ·doi:10.1016/j.anihpc.2015.01.004 [19] Capella，A.，Dávila，J.，Dupaigne，L.，Sire，Y.：一些非局部半线性方程径向极值解的正则性。Comm.偏微分方程36（8），1353-1384（2011）。https://doi.org/10.1080/03605302.2011.562954。 ·Zbl 1231.35076号 ·doi:10.1080/03605302.2011.562954 [20] Cartan，H.：《函数分析与变量复合体》。高桥瑞吉音乐节。科学院。赫尔曼，巴黎（1961）·Zbl 0094.04401号 [21] Chen，X.，Zeng，F.，Karniadakis，G.：分数阶微分方程非光滑解的可调有限差分方法。计算。方法应用。机械。工程师318193-214（2017）。https://doi.org/10.1016/j.cma.2017.01.020。 ·Zbl 1439.65082号 ·doi:10.1016/j.cma.2017.01.020 [22] Costabel，M.，Dauge，M.：二阶椭圆边值问题解的一般边渐近性。一、 二、。程序。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A 123（1），109-155157-184（1993）。https://doi.org/10.1017/S0308210500021272。 ·Zbl 0791.35032号 [23] Costabel，M.、Dauge，M.和Nicaise，S.：多边形和多面体中线性椭圆系统的分析正则性。数学。梅斯。申请。科学。22(8) (2012) ·Zbl 1257.35056号 [24] D'Elia，M.，Gunzburger，M.：有界域上的分数Laplacian算子是非局部扩散算子的特例。计算。数学。申请。66(7), 1245 - 1260 (2013). https://doi.org/10.1016/j.camwa/2013.07.022。 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122113004707。 ·Zbl 1345.35128号 [25] DeVore，R.，Lorentz，G.：构造近似。斯普林格·弗拉格。柏林（1993）·Zbl 0797.41016号 [26] NIST数学函数数字图书馆。http://dlmf.nist.gov/，2018-06-22第1.0.19版。http://dlmf.nist.gov/。F.W.J.Olver、A.B.Olde Daalhuis、D.W.Lozier、B.I.Schneider、R.F.Boisvert、C.W.Clark、B.R.Miller和B.V.Saunders编辑。 [27] Duoandikoetxea，J.：傅里叶分析，数学研究生课程，第29卷。美国数学学会，普罗维登斯，RI（2001）。戴维·克鲁兹·乌里韦（David Cruz-Uribe）于1995年翻译并修订了西班牙文原件·Zbl 0969.42001 [28] Fabes，E.，Kenig，C.，Serapioni，R.：退化椭圆方程解的局部正则性。通信部分。微分方程7（1），77-116（1982）。https://doi.org/10.1080/03605308208820218。 ·Zbl 0498.35042号 ·doi:10.1080/03605308208820218 [29] Gaspoz，F.，Heine，C.J.，Siebert，K.：最新顶点平分的最优分级和L2投影的H1稳定性。IMA J.数字。分析。36(3), 1217-1241 (2016). https://doi.org/10.1093/imanum/drv044。 ·Zbl 1433.65291号 ·doi:10.1093/imanum/drv044 [30] Gaspoz，F.，Morin，P.：自适应有限元的收敛速度。IMA J.数字。分析。29（4），917-936（2009年）。https://doi.org/10.1093/imanum/drn039。 ·Zbl 1183.65134号 ·doi:10.1093/imanum/drn039 [31] Goldíshtein，V.，Ukhlov，A.：加权Sobolev空间和嵌入定理。事务处理。阿默尔。数学。Soc.361（7），3829-3850（2009）。https://doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04615-7。 ·Zbl 1180.46022号 [32] Gui，W.，Babuška，I.：维有限元方法的\[h，\；p\]h，p和\[h\]h-\[p\]p版本。二、。\[h\]h-和\[h]h-\[p\]p版本的错误分析。数字。数学。49(6), 613-657 (1986). https://doi.org/10.1007/BF01389734。 ·Zbl 0614.65089号 ·doi:10.1007/BF01389734 [33] Harbrecht，H.，Peters，M.，Siebenmorgen，M.：基于组合技术的随机扩散椭圆问题的\[k\]k阶矩分析。J.计算。物理学。252, 128-141 (2013). https://doi.org/10.1016/j.jcp.2013.06.013。 ·Zbl 1349.35441号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.06.013 [34] Khoromskij，B.，Melenk，J.：边界集中有限元方法。SIAM J.数字。分析。41(1), 1-36 (2003) ·Zbl 1050.65113号 [35] Kufner，A.，Opic，B.：如何定义合理加权的Sobolev空间。注释。数学。卡罗琳大学。25(3), 537-554 (1984) ·Zbl 0557.46025号 [36] Landkof，N.：现代势理论的基础。Springer-Verlag，纽约-海德堡（1972）。A.P.Doohovskoy译自俄语，Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften，Band 180·Zbl 0253.31001号 [37] Lions，J.L.，Magenes，E.：非齐次边值问题及其应用。第一卷Springer-Verlag，纽约（1972）·Zbl 0223.35039号 [38] Lynch，R.E.，Rice，J.R.，Thomas，D.H.：用张量积方法直接求解偏微分方程。数字。数学。6, 185-199 (1964). https://doi.org/10.1007/BF01386067。 ·Zbl 0126.12703号 ·doi:10.1007/BF01386067 [39] McLean，W.：强椭圆方程组和边界积分方程。剑桥大学出版社，剑桥（2000）·Zbl 0948.35001号 [40] Meidner，D.，Pfeffer，J.，Schürholz，K.，Vexler，\[B.：hp\]hp分数扩散有限元。SIAM数值分析杂志56（4），2345-2374（2018）。https://doi.org/10.1137/17M1135517。 ·Zbl 1397.65282号 ·doi:10.1137/17M1135517 [41] Melenk，J.：关于边界层问题的hp有限元方法的稳健指数收敛性。IMA J.数字。分析。17(4), 577-601 (1997). https://doi.org/10.1093/imanum/17.4.577。 ·Zbl 0887.65106号 ·doi:10.1093/imanum/174.577 [42] Melenk，J.：奇异摄动的hp有限元方法，数学讲义，第1796卷。施普林格·弗拉格，柏林（2002年）。https://doi.org/10.1007/b84212。 ·兹比尔1021.65055 [43] Melenk，J.，Schwab，\[C.：hp\]hp反应扩散方程的有限元法。I.稳健指数收敛。SIAM J.数字。分析。35(4), 1520-1557 (1998). https://doi.org/10.1137/S0036142997317602。 ·Zbl 0972.65093号 ·doi:10.1137/S0036142997317602 [44] Melenk，J.，Schwab，C.：奇摄动问题的解析正则性。SIAM J.数学。分析。30(2), 379-400 (1999). https://doi.org/10.1137/S0036141097317542。 ·Zbl 1023.35009号 ·doi:10.1137/S0036141097317542 [45] Miller，K.，Samko，S.：完全单调函数。积分变换。特殊功能。12(4), 389-402 (2001). https://doi.org/101080/10652460108819360。 ·Zbl 1035.26012号 ·doi:10.1080/10652460108819360 [46] Muckenhoupt，B.：Hardy极大函数的加权范数不等式。事务处理。阿默尔。数学。Soc.165，207-226（1972年）·兹比尔0236.26016 [47] Müller，F.，Schötzau，D.，Schwab，C.：多边形椭圆问题的对称内罚间断Galerkin方法。SIAM J.数字。分析。55(5), 2490-2521 (2017). https://doi.org/10.1137/17M1120634。 ·Zbl 1376.65145号 ·doi:10.137/17M1120634 [48] Nochetto，R.，Otárola，E.，Salgado，A.：一般领域分数扩散的PDE方法：先验误差分析。找到。计算。数学。15(3), 733-791 (2015). https://doi.org/10.1007/s10208-014-9208-x。 ·兹比尔1347.65178 ·doi:10.1007/s10208-014-9208-x [49] Nochetto，R.，Otárola，E.，Salgado，A.：Muckenhoupt加权Sobolev空间中的分段多项式插值及其应用。数字。数学。132(1), 85-130 (2016). https://doi.org/10.1007/s00211-015-0709-6。 ·Zbl 1334.65030号 ·doi:10.1007/s00211-015-0709-6 [50] Nochetto，R.，Veeser，A.：自适应有限元方法入门。领域：多尺度和适应性：建模、数学和应用、数学课堂讲稿。，第2040卷，第125-225页。施普林格，海德堡（2012）。https://doi.org/10.1007/978-3-642-24079-9。 ·兹比尔1252.65192 [51] Olshanskii，M.，Reusken，A.：关于线性反应扩散问题多重网格方法的收敛性。计算65（3），193-202（2000）。https://doi.org/10.1007/s006070070006。 ·Zbl 0972.65082号 ·doi:10.1007/s00607007006 [52] Otárola，E.：数值分数扩散的PDE方法。马里兰大学帕克分校博士论文（2014） [53] Roos，H.G.，Stynes，M.，Tobiska，L.：奇摄动微分方程的数值方法，计算数学中的Springer级数，第24卷。施普林格·弗拉格，柏林（1996年）。https://doi.org/10.1007/978-3-662-03206-0。对流扩散和流动问题·兹比尔0844.65075 [54] Sauter，S.，Schwab，C.：边界元方法，计算数学中的Springer系列，第39卷。施普林格·弗拉格，柏林（2011年）。https://doi.org/10.1007/978-3-540-68093-2。从2004年德语原文翻译并扩充·Zbl 1215.65183号 [55] Schneider，R.：Multiskalen与Wavelet-Matrixkopression。数值数学进展。B.G.Teubner，斯图加特（1998）。https://doi.org/10.1007/978-3-663-10851-1。分析基本方法（Methoden zur effizienten Lösung großer vollbesetzter Gleichungssysteme）。[大型非解析方程组高效求解的基于分析的方法]·Zbl 0899.65063号 [56] Schneider，R.，Reichmann，O.，Schwab，C.：变阶伪微分方程的小波解。Calcolo 47（2），65-101（2010）。https://doi.org/10.1007/s10092-009-0012-y。 ·Zbl 1202.65013号 ·doi:10.1007/s10092-009-0012-y [57] Schötzau，D.，Schwab，C.：多面体椭圆问题的hp-version和谱有限元方法的指数收敛性。M3AS 25（9），1617-1661（2015）·Zbl 1322.65099号 [58] Schötzau，D.，Schwab，C.：多面体椭圆问题hp-fem的指数收敛性：混合边界条件和各向异性多项式度。行程。找到。计算。数学。18(3), 595-660 (2018). https://doi.org/10.1007/s10208-017-9349-9。 ·Zbl 1402.65166号 ·doi:10.1007/s10208-017-9349-9 [59] Schwab，\[C.：p\]p-和\[hp\]hp有限元方法。数值数学和科学计算。克拉伦登出版社，牛津大学出版社，纽约（1998年）。固体和流体力学的理论和应用·Zbl 0910.73003号 [60] Schwab，C.，Suri，M.：边界层问题有限元方法的\[p\]p和\[hp\]hp版本。数学。公司。65(216), 1403-1429 (1996). https://doi.org/10.1090/S0025-5718-96-00781-8。 ·Zbl 0853.65115号 ·doi:10.1090/S0025-5718-96-00781-8 [61] Schwab，C.，Suri，M.，Xenfontos，C.：边界层力学问题的hp有限元方法。计算。方法应用。机械。工程157（3-4），311-333（1998）。https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00243-0. 第七届科学与工程数值方法和计算力学会议（NMCM 96）（Miskolc）·Zbl 0959.74073号 [62] Scott，L.，Zhang，S.：满足边界条件的非光滑函数的有限元插值。数学。公司。54(190), 483-493 (1990). https://doi.org/10.2307/2008497。 ·Zbl 0696.65007号 ·doi:10.2307/2008497 [63] Stinga，P.，Torrea，J.：一些分数阶算子的扩张问题和Harnack不等式。Comm.偏微分方程35（11），2092-2122（2010）。https://doi.org/10.1080/0360530103735680。 ·Zbl 1209.26013号 ·doi:10.1080/03605301003735680 [64] Tartar，L.：索博列夫空间和插值空间导论，意大利统一运动讲义，第3卷。柏林施普林格出版社（2007）·Zbl 1126.46001号 [65] Turesson，B.：非线性势理论和加权Sobolev空间，数学课堂讲稿，第1736卷。施普林格·弗拉格，柏林（2000年）。https://doi.org/10.1007/BFb0103908。 ·Zbl 0949.31006号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。