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爱德华·博内；Vangelis Th.帕斯科。

稀疏化和次指数近似。 （英语） Zbl 1408.68068号

学报信息。 55，第1期，第1-15页（2018年）.
本文研究了在当前标准的指数时间假设（ETH）下，对于某些NP完全问题，是否可以排除亚指数时间近似算法。ETH猜想3-可满足性问题（3-SAT）不能在次指数时间内求解；形式上，存在一个正常数\（c>0\），使得在最坏的情况下，在时间\（O（2^｛cn｝）\）到多对数因子的情况下，没有算法能够求解3-SAT，其中\（n \）是变量的数量。（这里需要注意的是，ETH语句中没有出现子句数\（m\）。）
在《计算机系统科学杂志》第63卷第4期第512-530页（2001年；Zbl 1006.68052号)],R.英帕利亚佐等表明，假设ETH成立，它的硬度也扩展到除3-SAT以外的许多NP-完全问题，这意味着诸如“（k）-集覆盖”、“顶点覆盖”和“独立集”等问题也没有亚指数时间算法。这是通过他们的“稀疏化引理”实现的，该引理展示了如何将给定的3-SAT实例减少为次指数数量的“稀疏”3-SAT示例，同时保持（此处省略了定义明确的）原始实例的可满足性。这里，一个稀疏的3-SAT实例最多有\（O（n）\）子句。
稀疏化引理非常强大，并且对于某些NP-完全问题（假设ETH），产生了关于次指数时间算法不可能的可爱结果。因此，下一个自然的步骤是问这种次指数时间难处理性是否也适用于不精确地解决此类NP完全问题，而是近似地解决此类NP完全问题。这里，3-SAT的（r）-近似算法（对于（0<r<1））是输出满足至少（r）倍于同时可满足子句的最佳数目的解的任何算法。此前，最大独立集和顶点覆盖被证明在本质上是亚指数时间的任何常数内都是不可逼近的。本文展示了如何将这些已知的不可逼近性结果进一步减少到其他各种NP完备问题，如最小支配集、最小反馈顶点集、最小集覆盖等。
所采用的方法是开发一种新的稀疏化器变体，称为“近似-保留稀疏化器”（请注意，Impagliazzo等人的稀疏化程序不保留近似比，因此不能在此处使用）。总体策略如下：假设ETH。对于我们希望表明它不能在次指数时间内近似的问题（P），将近似保护稀疏化器应用于顶点覆盖，以输出次指数数量的顶点覆盖新实例，每个实例都是稀疏的（即，边的数量与顶点的数量成比例）。然后，应用近似-保护减少将顶点覆盖减少到\（P\）。请注意，稀疏化步骤在这里至关重要的原因是，文献中的大多数近似保护缩减都会放大实例大小，即，将具有（n）个顶点的输入顶点覆盖实例映射到大小为（O（n+m）的（P）个实例\)使得顶点覆盖的次指数时间难处理性结果（仅关于\（n\））不会立即转移到\（P\）。
审核人：塞瓦格·加里比安（帕德博恩）

引用于6文件

MSC公司：

2017年第68季度 问题的计算难度（下限、完备性、近似难度等）
68周25 近似算法

关键词：

指数时间假说；稀疏化；不可接近性；保逼近稀疏化器；顶点覆盖；最小支配集；最小反馈顶点集；最小设置覆盖

引文：

Zbl 1006.68052号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{埃里·博内特}和\textit{V.Th.Paschos}，《学报》第55卷第1期，第1-15页（2018年；Zbl 1408.68068）
全文： 内政部 arXiv公司

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