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Marr猜想和小波变换的唯一性。 (英语) Zbl 1404.42062号

在\({\mathbb R}^d\)中里希特墨西哥帽子小波(M)是高斯函数的拉普拉斯算子。我们让(M_\sigma(x)=\sigma^{-d}M(x/\sigma))。函数(f)在尺度(sigma)上的连续小波变换是(f*M_sigma)。问题是,(f)是否由其连续小波变换的零点唯一确定。
最初的马尔猜想指出:对于趋向无穷大的任何正标度序列({σ_j}_{j=1}),通过(f*M_σ)的零点集唯一地确定衰减足够快的局部可积函数(f)(达到常数倍)。这个猜想的一些特殊情况在过去已经被证明了。本文证明了该猜想的更一般性,并考虑了除(M)以外的小波。
主要结果是,\(f\)是可积的,具有指数衰减,并且\(\psi\)是光滑的,所有导数的增长速度都慢于指数,并且满足“一般性条件”就足够了。该条件表明,任何阶导数的正则零点集不包含任何阶导数(n,m,n,geq 0)的正则零点。这里的“阶导数”是指总阶偏导数的任何线性组合。
一维墨西哥帽小波满足遗传条件。在高维中,该条件可以简化为拉普拉斯-海姆特多项式零点的条件。对于维(d=2)中的一些值\(m),\(n),作者已经用数字验证了该条件。
其他结果包括当条件不满足时的反例;一个反例,表明该猜想不适用于离散情况(其中过零点仅在晶格上已知);以及一个推论,它表明热方程解的零点唯一地决定了初始条件(在某些假设下)。

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42立方厘米 涉及小波和其他特殊系统的非三角调和分析
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