奎恩（Christian Kuehn） 二维立方五次Allen-Cahn方程的数值延拓和SPDE稳定性。 （英语） Zbl 1339.60096号 SIAM/ASA J.不确定性。数量。 3, 762-789 (2015). 摘要：我们研究了具有三次五次非线性项和Q-迹类随机强迫的Allen-Cahn方程。这个随机偏微分方程（SPDE）被用作一个测试案例，以了解如何将数值延拓方法应用到SPDE设置中。首先，我们计算了PDE的确定性分岔图，即在没有随机强迫的情况下。在这种情况下，随着线性阻尼项的变化，存在两个局部渐近稳定的稳态解分支。然后我们考虑了SPDE稳态附近局部线性化系统的Lyapunov算子方程。我们将有限差分和谱噪声近似相结合，对整个SPDE进行离散化，得到了随机常微分方程（SODE）的有限维系统。利用SODEs大系统通过协方差矩阵逼近Lyapunov算子方程。协方差矩阵沿着两个分支进行数值连续。我们表明，我们可以量化沿着分支的随机波动。我们还证明了分支和折叠分岔点附近的标度律。此外，我们还进行了计算测试，以表明即使使用次优的计算设置，我们也可以量化在标准桌面计算机设置上随机施加力时，确定性稳态附近的次指数时间尺度波动。因此，提出的SPDE数值延拓方法有可能实现时空随机系统参数不确定性的快速量化。 引用于9文件 MSC公司： 60时35分 随机方程的计算方法（随机分析方面） 60甲15 随机偏微分方程（随机分析方面） 60 H10型 随机常微分方程（随机分析方面） 35卢比60 随机偏微分方程的偏微分方程 65立方米 随机微分和积分方程的数值解 65页30 数值分歧问题 关键词：三次五次Allen-Cahn方程;随机PDE;李亚普诺夫方程;数值延拓;光谱噪声近似;不确定性量化;有限差分;迭代线性解算器;临界转变;分岔图 软件：HomCont公司;AUTO（自动）;MATCONT公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛C.Kuehn｝，SIAM/ASA J.不确定。数量。3762--789（2015；Zbl 1339.60096） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] M.Alfaro、D.Hilhorst和H.Matano，《Allen-Cahn方程和FitzHugh-Nagumo系统的奇异极限》，《微分方程》，245（2008），第505-565页·Zbl 1154.35006号 [2] S.M.Allen和J.W.Cahn，《反相边界运动的微观理论及其在反相畴粗化中的应用》，《金属学报》。，27（1979年），第1085-1095页。 [3] E.L.Allgower和K.Georg，《数值延拓方法导论》，SIAM，费城，2003年·Zbl 1036.65047号 [4] S.Alma，L.Bronsard，and C.Gui，《具有多井势的Allen-Cahn系统在（mathbb{R}^2）中的定态分层解》，《计算变量偏微分方程》，5（1997），第359-390页·Zbl 0883.35036号 [5] I.S.Aranson和L.Kramer，《复杂的Ginzburg-Landau方程的世界》，Rev.Modern Phys。，74（2002），第99-143页·Zbl 1205.35299号 [6] D.Barkley、I.G.Kevrekidis和A.M.Stuart，{力矩图：通过几个力矩的密度演化非线性动力学}，SIAM J.Appl。动态。系统。，5（2006年），第403-434页·Zbl 1210.65010号 [7] R.H.Bartels和G.W.Stewart，方程的解（AX+XB=C）}，美国医学委员会，15（1972），第820-826页·Zbl 1372.65121号 [8] R.Bellman，《矩阵分析导论》，McGraw-Hill，纽约，1960年；再版，SIAM，费城，1995年·Zbl 0124.01001号 [9] P.Benner、J.R.Li和T.Penzl，{大规模Lyapunov方程、Riccati方程和线性二次型最优控制问题的数值解}，Numer。线性代数应用。，15（2008），第755-777页·Zbl 1212.65245号 [10] A.Bensoussan，{随机Navier-Stokes方程}，Acta Appl。数学。，38（1995），第267-304页·Zbl 0836.35115号 [11] N.Berglund和B.Gentz，《低速动力系统中的噪声诱导现象》，施普林格出版社，伦敦，2006年·Zbl 1098.37049号 [12] N.Berglund和B.Gentz，《抛物线SPDE亚稳寿命的夏普估计：克莱默斯定律及其以外》，《电子》。J.Probab.等人。，18（2013），第1-58页·Zbl 1285.60060号 [13] D.Bloömker，{随机偏微分方程的振幅方程}，《世界科学》，新泽西州哈肯萨克，2007年·Zbl 1128.60049号 [14] D.Bloömker和M.Hairer，《非晶薄膜生长模型的定态解》，Stoch。分析。申请。，22（2004），第903-922页·Zbl 1057.60060号 [15] D.Bloímker和A.Jentzen，{随机Burgers方程的Galerkin近似}，SIAM J.Numer。分析。，51（2013），第694-715页·Zbl 1267.60071号 [16] D.Bloömker和W.W.Mohammed，{具有三次非线性的SPDE振幅方程}，《随机学》，85（2013），第181-215页·Zbl 1291.60127号 [17] D.Bloömker和M.Romito，{带时空白噪声的二维表面增长方程的局部存在唯一性}，Stoch。分析。申请。，31（2013），第1049-1076页·Zbl 1292.35345号 [18] R.E.Caflisch，{蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法}，《数值学报》。，7（1998），第1-49页·Zbl 0949.65003号 [19] M.Castro和G.Lythe，《噪声链上的数值实验：从集体跃迁到核扩散》，SIAM J.Appl。动态。系统。，7（2008），第207-219页·兹比尔1159.60333 [20] T.Cox、R.Durrett和E.Perkins，重新定标的选民模型收敛于超布朗运动，Ann.Probab。，28（2000），第185-234页·Zbl 1044.60092号 [21] R.J.Deissler和H.R.Brand，五次复Ginzburg-Landau方程的周期、拟周期和混沌局部化解，Phys。修订稿。，72（1994），第478-481页。 [22] A.Dhooge、W.Govaerts和Yu。A.Kuznetsov，{\it MATCONT:ODEs}数值分岔分析的MATLAB包，ACM Trans。数学。《软件》，29（2003），第141-164页·Zbl 1070.65574号 [23] E.J.Doedel，{自动，自治系统自动分岔分析程序}，Congr。数字。，30（1981年），第265-384页·Zbl 0511.65064号 [24] E.J.Doedel、A.Champneys、F.Dercole、T.Fairgrave、Y.Kuznetsov、B.Oldeman、R.Paffenroth、B.Sandstede、X.Wang和C.Zhang，{it Auto 2007p:常微分方程连续分叉软件（带HomCont）}，http://cmvl.cs.concordia.ca/auto (2007). 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