×
麦克拉根，戴安;伯恩德·斯图尔姆费尔斯

热带几何学导论。 （英语） Zbl 1321.14048号

数学研究生课程161.普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（ISBN 978-0-8218-5198-2/hbk）。xii，第363页。(2015).
从前言：
“热带几何是代数几何和组合学之间的一个令人兴奋的新领域，与许多其他领域都有联系。它的核心是热带半环上的几何，即（mathbb R\cup\{\infty\}）通常的加法运算和乘法运算分别被最小和加法运算所取代。这将多项式转化为分段线性函数，并用多面体几何中的对象替换代数簇，这可视为原始簇的“组合阴影”。
在这本书中，我们以初学者可以理解的层次介绍了这个主题。热带几何学已经成为一个很大的领域，在第一门课程中只能涵盖一小部分主题。我们专注于研究源自经典代数变种的热带变种。交换代数和多面体几何的方法是我们方法的核心。这必然意味着许多重要的话题被遗漏了。这些包括热带几何本身作为内在几何的系统发展，与枚举和实代数几何的联系，与镜像对称的联系，对Berkovich空间和抽象曲线的联系，以及max-plus代数的更多应用方面。幸运的是，这些主题中的大多数都包含在其他最近或即将出版的书籍中，例如[F.L.巴氏杆菌等，同步和线性。离散事件系统的代数。奇切斯特：威利（1992；Zbl 0824.93003号)], [P.Butković，最大线性系统。理论和算法。伦敦：施普林格出版社（2010；Zbl 1202.15032号)], [M.总量热带几何和镜像对称。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2011；Zbl 1215.14061号)], [I.伊滕伯格等，热带代数几何。巴塞尔：Birkhäuser（2007年；Zbl 1162.14300号)], [M.Joswig先生，热带组合学基础。准备中的书][G.米哈尔金和J.劳，热带几何学，正在编写的书]，以及[L.Pachter公司（编辑）和B.斯图尔姆费尔斯（编辑），计算生物学代数统计学。剑桥：剑桥大学出版社（2005；Zbl 1108.62118号)].
前提条件。本文旨在适用于数学一年级研究生的热带几何课程。我们试图通过以下方式，在本科生教科书《理想、多样性和算法》的层次上，让具有最低代数几何背景的读者能够阅读这些材料D.考克斯等。[理想、变种和算法。计算代数几何和交换代数导论。第三版，纽约：施普林格（2007；Zbl 1118.13001号)].
这本书的基本先决条件是掌握线性代数以及抽象代数第一门课程中关于环和场的材料。由于热带几何学吸收了许多数学领域的知识，因此在几何学、拓扑学或数论方面有一些额外的背景将是有益的。
多面体和多面体在热带几何中发挥着重要作用，之前接触过凸性和多面体组合学可能会有所帮助。为此，我们推荐齐格勒（Ziegler）的书《关于多域的讲座》[G.M.齐格勒，关于多面体的讲座。柏林：Springer-Verlag（1995；Zbl 0823.52002号)].
第一章对我们的读者表示友好的欢迎。它没有特定的先决条件，是为了让所有人都能享受。第2章的前三节涵盖了抽象代数、代数几何和多面体几何的背景材料。给出了足够的定义和示例，热情的读者可以填补任何空白。强烈建议所有学生（及其老师）探索第一章和第二章的练习。
一些结果及其证明将需要更多的数学成熟度和专业知识。第二章和第三章需要一些交换代数。组合数学和多重线性代数将有助于学习第四章和第五章。第6章假设熟悉现代代数几何。
概述。我们从重新学习加法和乘法的算术运算开始。第1章的其余部分提供了可以按任何顺序享用的小吃。它们展示了热带几何学的过去、现在和未来，并作为本书更正式内容的介绍。在第2章中，前半部分涵盖了背景材料，而后半部分则发展了一种适用于具有估值字段上的代数变量的Gröbner基理论。其中最引人注目的是Gröbner杂岩的建造以及由此产生的热带基地的有限性。
第三章是本书的核心。两个主要结果是基本定理3.2.3，它以看似不同的方式表征了热带品种，以及结构定理3.3.5，它表示它们是正确维度的连接平衡多面体复合体。热带品种的稳定交集揭示了交集理论的暗示。
热带线性空间及其参数空间，格拉斯曼空间和德莱西空间，见第4章。拟阵理论起着基础性作用。我们对完全交集的讨论包括牛顿多边形的混合体积和n个变量中n个方程的伯恩斯坦定理的热带证明。我们还研究了三维空间中曲面的组合。
第5章介绍了热带矩阵的谱理论、热带凸性和行列式变体。它还展示了拟阵和其他线性空间的Bergman迷的计算。第六章是关于热带品种和复曲面品种之间的联系。它引入了退化、紧化和枚举几何的热带方法。”
审核人：佩特尔·弗兰克尔（布达佩斯）

引用于5评论
引用于412文件

MSC公司：

14-01 与代数几何有关的介绍性说明（教科书、教程论文等）
14T05号 热带几何学（MSC2010）
14米25 双曲面、牛顿多面体、Okounkov体
13页第10页 Gröbner碱；理想和模块的其他基础（例如Janet和border基础）
52秒20 凸几何中的格多面体（包括与交换代数和代数几何的关系）

关键词：

热带几何学;热带半环;热带品种;热带超表层;拟阵;复曲面几何;热带线性代数;Gröbner基;德莱西安

引文：

Zbl 0824.93003号;兹伯利1202.15032;Zbl 1215.14061号;Zbl 1162.14300号;Zbl 1108.62118号;Zbl 1118.13001号;Zbl 0823.52002号

软件：

多晶的;机锋网
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Maclagan}和\textit{B.Sturmfels}，热带几何学导论。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2015；Zbl 1321.14048）
全文： 链接