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阿萨纳塞·帕帕佐普洛斯

度量空间，凸性和非正曲率。第二版。 （英文） Zbl 1296.53007号

IRMA数学和理论物理讲座6.苏黎世：欧洲数学学会（EMS）（ISBN 978-3-03719-132-3/pbk）。xi，第309页。(2014).
这本书介绍了H.Busemann意义上的非正曲率度量空间理论。作者首先描述了哈达玛在非正曲率曲面上的基本工作，并简要介绍了K.Menger、a.Wald、H.Busemann和a.D.Aleksandrov在度量几何方面的基础工作。
第1章和第2章讨论了一些基本的初步主题，如度量空间、长度、长度空间（也称为具有内在度量的度量空间或内度量空间）、测地线、测地线空间（也称为测地线连通的度量空间）测地线凸性和Menger凸性。
第三章介绍了Lipschitz的初步资料，特别是非扩张映射、距离非减映射、局部等距和覆盖空间。
在第4章中，作者给出了熟悉的Hausdorff和Busemann-Hausdorff距离，并引入了度量空间等距群上的不同度量。
第5章和第6章讨论了不同向量空间中的凸性和凸函数。
在第七章中，作者提出了赋范向量空间中最小测地线唯一性的不同准则。特别地，证明了在赋范向量空间中，极小测地线是唯一的当且仅当赋范矢量空间是严格凸的。如果\（\gamma\left（s\right）\），\（a\leq s\leq b\）是非恒定测地线\（\mathcal{L}\）的弧长参数化，那么\（\gamma\lert（\left）（\left-c\right）t+\ left（bc-ad\right）\right。
第8章从Busemann空间的以下定义开始：测地度量空间（left（X，rho\right））如果对于任意两个仿射参数化测地（gamma:left[A，b\right]\rightarrow X\），（gamma^{prime}:left[A^{prime}，b^{primer}\right]\right箭头X\）被称为Buseman空间，函数\（D_{\gamma，\gamma^{\prime}}\left（t，t^{\right）=\rho\left。作者证明了命题8.1.2，该命题提供了Busemann空间的一些等价定义，其中读者可以找到Buseman对非正曲率的原始定义：如果（mathcal{T=}abc）是测地空间中的测地三角形（左（X，右））和（m{1}，m{2}）是边的中点和\（ac\），然后\（\rho\左（m{1}，m{2}\右）\leq\rho\left（b，c\右）/2\）。第8.1节中提供的Busemann空格示例也是Aleksandrov（\operatorname{Re}_{0}\）域（也称为\（\text{CAT}\左（0\right）\）域）的示例，但命题8.1.6:Each除外严格凸赋范空间是一个Busemann空间（相反，根据a.D.Aleksandrov的一个定理，赋范向量空间是Aleksandorv曲率的当且仅当它是内积向量空间时）。作者证明了Busemann空间的基本性质：测地线的唯一性，每个Busemann-空间是可压缩的，每个（局部）测地线是最小测地线。第8章的剩余部分讨论了Busemann空间中的测地凸性和凸函数。
在第九章中，作者提出了S.B.Alexander和R.L.Bishop的以下定理：在完备的局部紧和局部凸测地度量空间（即局部Busemann空间）（左（X，右））中，自然定义的映射（exp_{X}）是（X）的泛覆盖映射，也是M的定理。Gromov：每个完备测地局部紧、局部凸和单连通度量空间都是Busemann空间。度量空间（左（X，右）中的两条测地线\（r{1}，r{2}:[0，+\infty）\rightarrow X\）称为渐近线，如果每一个\（t\geq 0\）都有\（alpha>0\），使得\（\ left|r_{1}\ left（t\right）-r_{2}\ left（t\right|\leq\alpha\）。从\（p\）发出的所有测地线，具有紧集上一致收敛的拓扑。起始于\（p\）的两条射线如果是渐近的，则称为等效射线。（R{p}）w.R.t.的商空间，刚才引入的等价关系称为可视边界（偏）_{p} X（X）\).
第10章讨论了度量空间的可视边界、一些属性和示例。剩下的两章更加专业化。
在第11章中，作者给出了与最小位移（即，（lambda\left（f\right）=\inf_{x\In x}\rho\left（f:X\rightarrowX\）），并研究度量空间（left（X，rho\right）\）的等轴测的相关分类。这些概念应用于轴等距、闭合测地线和平行测地线的研究。设\（r\left（t\right）\），\（t\geq 0\）是公制空间\（\left（X，\rho\right））中的测地线。然后，相关的（凸）Busemann函数由\（B_{r}\left（x\right）=\lim_{t\rightarrow+\infty}\left[\rho\left[x，r\left（t\right）\right]）定义；因此，对于大的（t），（x）和（r左（t右）之间的距离大约等于（B_{r}左（x右）+t）。Busemann函数的一个水平集被称为水平圈。
第12章介绍了Busemann函数的基本性质，简要介绍了Busamann的共射线理论，并讨论了共射线、Buseman函数和水平面之间的关系。
这本书写得很好，很容易阅读。这本书的第一部分有点基础，大四学生和一年级研究生应该可以阅读。这本书的第二部分更加专业化和以研究为导向，可以为研究人员提供关于度量几何的良好信息来源。
审核人：I.G.Nikolaev（乌尔班纳）

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关键词：

度量空间;路径;长度;测地线的;等距;非正曲率;Busemann空间;赋范空间;凸函数;凸空间;射线;渐近射线;可视边界;Busemann函数;水平层;共射线

引文：

Zbl 1115.53002号
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\textit{A.Papadopoulos}，度量空间，凸性和非正曲率。第二版。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）（2014；Zbl 1296.53007）
全文： 内政部