奎恩（Christian Kuehn） 关键转变的数学框架：范式、方差和应用。 （英语） Zbl 1282.34062号 非线性科学杂志。 23，第3期，457-510（2013）. 作者分析了快速子系统分岔到共维2的随机波动，并计算了临界转移附近随机样本路径方差的标度律。他的理论结果结合了分岔理论、快-慢系统、实分析、随机微分方程、渐近分析、数值延拓/积分和时间序列分析等著名的基本数学工具。本文有两个主要贡献：第一个贡献来自一个重要的开放问题，它发展了一个统一的临界跃迁理论（参见示例[M.Scheffer先生等，《自然》，第461、53–59号（2009年））。第二个贡献表明，抽象临界跃迁理论可以得出非常有用的应用结论。这些结果扩展了结果，因为N.费尼切尔[J.微分方程31，53–98（1979；Zbl 0476.34034号)]; [N.Berglund公司和B.根茨，低速动力系统中的噪声诱导现象。概率及其应用。伦敦：斯普林格出版社（2006；Zbl 1098.37049号)];C.奎恩【物理D 240，第12期，1020-1035（2011；Zbl 1225.35242号)]; [E.F.米什琴科和N.Kh.Rozov公司，具有小参数和松弛振荡的微分方程。科学与工程中的数学概念和方法.13。纽约，伦敦：Plenum出版社（1980；Zbl 0482.34004号)]; [Y.A.库兹涅佐夫，应用分岔理论的要素。第三版应用数学科学112。纽约州纽约市：斯普林格出版社（2004；Zbl 1082.37002号)].主要结果见定理5.1、定理5.2和定理5.3。详细介绍了五个例子。审核人：罗密欧·内格里亚（蒂米索拉） 引用于22文件 MSC公司： 34F05型 常微分方程和随机系统 34E15号机组 常微分方程的奇异摄动 60小时10分 随机常微分方程（随机分析方面） 34C23型 常微分方程的分岔理论 37M10个 动力系统的时间序列分析 34立方厘米20 常微分方程和系统的变换和约简，正规形式 关键词：临界转变；引爆点；快速流动系统；不变流形；随机微分方程；多时间尺度；力矩估算；渐近分析；活化剂-抑制剂系统 引文：Zbl 0476.34034号；Zbl 1098.37049号；Zbl 1225.35242号；Zbl 0482.34004号；Zbl 1082.37002号 软件：MATCONT公司；数学软件 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛C.Kuehn｝，非线性科学杂志。23，第3号，457--510（2013；Zbl 1282.34062） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Alley，R.B.，Marotzke，J.，Nordhaus，W.D.，Overpeck，J.T.，Peteet，D.M.，Pielke，R.A.Jr.，Pierrehumbert，R.T.，Rhines，P.B.，Stocker，T.F.，Talley，L.D.，Wallace，J.M.：气候突变。科学2992005-2010（2003）·doi:10.1126/science.1081056 [2] Andronov，A.A.，Leontovich，E.A.，Gordon，I.I.，Maier，A.G.：二阶动力系统的定性理论。威利，纽约（1973）·Zbl 0282.34022号 [3] Arnold，L.，《随机动力系统》，1-43（1995），柏林·Zbl 0834.58026号 ·doi:10.1007/BFb0095238 [4] Arnold，L.：随机动力系统。柏林施普林格出版社（2003） [5] Arnold，V.I.：《数学科学百科全书：动力系统V.Springer》，柏林（1994）·Zbl 0791.00009 [6] Ashwin，P.、Wieczorek，S.、Vitolo，R.、Cox，P.：开放系统中的临界点：气候系统中的分岔、噪声诱导和速率依赖示例。菲洛斯。事务处理。R.Soc.A 3701166-1184（2012年）·doi:10.1098/rsta.2011.0306 [7] Barkley，D.：可激发介质中波的快速计算机模拟模型。《物理学D》49，61-70（1991）·doi:10.1016/0167-2789（91）90194-E [8] Bazykin，A.D.：In:Khibnik，A.I.，Krauskopf，B.（编辑）相互作用种群的非线性动力学。《世界科学》，新加坡（1998年） [9] Bender，C.M.，Orszag，S.A.：渐近方法和扰动理论。柏林施普林格（1999）·Zbl 0938.34001号 [10] Berglund，N.，Gentz，B.：加性噪声对动态滞后的影响。非线性15，605-632（2002a）·兹比尔1073.37061 ·doi:10.1088/0951-7715/15/3/305 [11] Berglund，N.，Gentz，B.：简单气候模型的亚稳定性：缓慢驱动的Langevin方程的路径分析。斯托克。动态。2、327-356（2002b）·Zbl 1090.86001号 ·doi:10.1142/S0219493702000455 [12] Berglund，N.，Gentz，B.：加性噪声下动态音叉分叉的路径描述。普罗巴伯。理论关联。字段3，341-388（2002c）·Zbl 1008.37031号 ·doi:10.1007/s004400100174 [13] Berglund，N.，Gentz，B.：随机微分方程的几何奇异摄动理论。J.差异。等于。191, 1-54 (2003) ·Zbl 1053.34048号 ·doi:10.1016/S0022-0396（03）00020-2 [14] Berglund，N.，Gentz，B.：关于噪声诱导通过不稳定周期轨道I：二能级模型。《统计物理学杂志》。114(5), 1577-1618 (2004) ·2018年10月28日 ·doi:10.1023/B:JOSS.000013966.54504.da文件 [15] Berglund，N.，Gentz，B.：低速动力系统中的噪声诱导现象。柏林施普林格出版社（2006）·Zbl 1098.37049号 [16] Berglund，N.，Gentz，B.：关于噪声诱导通过不稳定周期轨道II：一般情况（2012年）。arXiv:1208.2557·Zbl 1291.60114号 [17] Berglund，N.，Landon，D.：随机FitzHugh-Nagumo模型中的混合模式振荡和峰间间隔统计。非线性252303-2335（2012）·Zbl 1248.60059号 ·doi:10.1088/0951-7715/25/8/2303 [18] Berglund，N.，Gentz，B.，Kuehn，C.：在嘈杂的环境中猎杀法国鸭子。J.差异。等于。252(9), 4786-4841 (2012) ·Zbl 1293.37025号 ·doi:10.1016/j.jde.2012.01.015 [19] Boettinger，C.，Hastings，A.：量化临界转变早期预警检测的限制。J.R.Soc.接口9（75），2527-2539（2012）·doi:10.1098/rsif.2012.0125 [20] Brackley，C.A.，Ebenhöh，O.，Grebogi，C.，Kurths，J.，de Moura，A.，Romano，M.C.，Thiel，M.：焦点问题导论：系统生物学中的动力学。《混沌》20，045101（2010）·数字对象标识代码：10.1063/1.3530126 [21] Broer，H.W.，Kaper，T.J.，Krupa，M.：低速系统中尖点奇异性的几何去角化及其在塞曼示例中的应用。J.差异。Equ.、。，1-46（2012年提交）。预打印·兹比尔1288.34051 [22] Carpenter，S.R.，Brock，W.A.：方差上升：生态转型的领先指标。经济。莱特。9, 311-318 (2006) ·文件编号：10.1111/j.1461-0248.2005.00877.x [23] Carpenter，S.R.、Brock，W.A.、Cole，J.J.、Kitchell，J.F.、Place，M.L.：营养级联的主要指标。经济。莱特。11, 128-138 (2008) [24] Cessi，P.：随机强迫温盐循环的简单盒子模型。《物理学杂志》。Oceanogr公司。24, 1911-1920 (1994) ·Zbl 0819.90031号 ·doi:10.1175/1520-0485（1994）024<1911:ASBMOS>2.0.CO；2 [25] Chiba，H.：具有Bogdanov-Takens型折叠点的快-慢系统中的周期轨道和混沌。J.差异。等于。250, 112-160 (2011) ·Zbl 1213.34063号 ·doi:10.1016/j.jd.2010.09.022 [26] Clark，J.S.、Carpenter，S.R.、Barber，M.、Collins，S.、Dobson，A.、Foley，J.A.、Lodge，D.M.、Pascual，M.，Pielke，R.Jr.、Pizer，W.、Pringle，C.、Reid，W.V.、Rose，K.A.、Sala，O.、Schlesinger，W.H.、Wall，D.H.、Wear，D.：生态预测：一个新兴的必要条件。《科学》293657-660（2001）·doi:10.1126/science.293.5530.657 [27] Dakos，V.、Scheffer，M.、van Nes，E.H.、Brovkin，V.和Petoukhov，V.，Held，H.：减速是气候突变的预警信号。程序。国家。阿卡德。科学。美国105（38），14308-14312（2008）·doi:10.1073/pnas.0802430105 [28] Dakos，V.，van Nes，E.H.，Donangelo，R.，Fort，H.，Scheffer，M.：空间相关性是灾难性变化的主要指标。西奥。经济。3(3), 163-174 (2009) ·doi:10.1007/s12080-009-0060-6 [29] Dakos，V.、Kéfi，M.、Rietkerk，M.，van Nes，E.H.、Scheffer，M.:在崩溃边缘的空间模式系统中减速。《美国国家》177（6），153-166（2011）·doi:10.1086/659945 [30] Da Prato，G.，Zabczyk，J.：无限维随机方程。剑桥大学出版社，剑桥（1992）·Zbl 0761.60052号 ·doi:10.1017/CBO9780511666223 [31] Desroches，M.、Guckenheimer，J.、Kuehn，C.、Krauskopf，B.、Osinga，H.、Wechselberger，M.：多时间尺度的混合模式振荡。SIAM版本54（2），211-288（2012）·Zbl 1250.34001号 ·数字对象标识代码：10.1137/100791233 [32] Ditlevsen，P.D.，Johnsen，S.J.：提示：早期预警和一厢情愿的想法。地球物理学。Res.Lett公司。37, 19703 (2010) ·doi:10.1029/2010GL044486 [33] Donangelo，R.、Fort，H.、Dakos，V.、Scheffer，M.、Van Nes，E.H.：生态系统灾难性变化的早期预警：空间和时间指标之间的比较。国际法学分会。《混沌》20（2），315-321（2010）·doi:10.1142/S0218127410025764 [34] Drake，J.M.，Griffen，B.D.：环境恶化时物种灭绝的早期预警信号。《自然》467456-459（2010）·doi:10.1038/nature09389 [35] Elger，C.E.，Lehnertz，K.：通过大脑电活动的非线性时间序列分析预测癫痫发作。《欧洲神经科学杂志》。10, 786-789 (1998) ·文件编号：10.1046/j.1460-9568.1998.00090.x [36] Fenichel，N.：常微分方程的几何奇异摄动理论。J.差异。等于。31, 53-98 (1979) ·Zbl 0476.34034号 ·doi:10.1016/0022-0396（79）90152-9 [37] Freidlin，M.I.，Wentzell，A.D.：动力系统的随机扰动。柏林施普林格（1998）·Zbl 0922.60006号 ·doi:10.1007/978-1-4612-0611-8 [38] 加德纳，C.：随机方法，第4版。柏林施普林格出版社（2009）·Zbl 1181.60001号 [39] Goldbeter，A.，Koshland，D.E.：生物系统中共价修饰引起的放大敏感性。程序。国家。阿卡德。科学。美国78，6840-6844（1981）·doi:10.1073/pnas.78.11.6840 [40] Govaerts，W.，Kuznetsov，Yu。答：Matcont（2010）。http://www.matcont.ugent.be网站/ ·Zbl 1070.65574号 [41] Grasman，J.：松弛振动的渐近方法及其应用。柏林施普林格（1987）·Zbl 0627.34037号 ·doi:10.1007/978-1-4612-1056-6 [42] Gross，T.，Sayama，H.（编辑）：自适应网络：理论、模型和应用。柏林施普林格出版社（2009） [43] Gross，T.，Dommar D'Lima，C.J.，Blasius，B.：自适应网络上的流行病动力学。物理。修订稿。96, 208701 (2006) ·doi:10.1103/PhysRevLett.96.208701 [44] Guckenheimer，J.，Holmes，P.：非线性振动，动力系统，向量场的分岔。施普林格，纽约（1983）·Zbl 0515.34001号 [45] Guttal，V.，Jayaprakash，C.：噪声对双稳态生态系统的影响。经济。模型。201, 420-428 (2007) ·doi:10.1016/j.ecolmodel.2006.10.005 [46] Hale，J.K.：常微分方程。纽约多佛（2009）·Zbl 0186.40901号 [47] Hallerberg，S.，Kantz，H.：事件大小对极端事件可预测性的影响。物理学。版本E 77，011108（2008）·doi:10.1103/PhysRevE.77.011108 [48] Hastings，A.，Wysham，D.B.：生态系统中的政权转变可能在没有预警的情况下发生。经济。莱特。13, 464-472 (2010) ·文件编号：10.1111/j.1461-0248.2010.01439.x [49] Henry，D.：半线性抛物方程的几何理论。柏林施普林格（1981）·Zbl 0456.35001号 [50] Highham，D.J.：随机微分方程数值模拟的算法介绍。SIAM版本43（3），525-546（2001）·兹比尔0979.65007 ·doi:10.1137/S0036144500378302 [51] Hong，H.、Stein，J.C.：意见分歧、短期销售限制和市场崩溃。财务版次。螺柱16（2），487-525（2003）·doi:10.1093/rfs/hhg006 [52] 黄，J.，王，J.：流动性和市场崩溃。财务版次。螺柱22（7），2607-2643（2008）·doi:10.1093/rfs/hhn086 [53] Imkeller，P.，Pavlyukevich，I.：稳定Lévy过程驱动的SDE的首次退出时间。斯托克。过程。申请。116(4), 611-642 (2006) ·Zbl 1104.60030号 ·doi:10.1016/j.spa.2005.11.006 [54] Izhikevich，E.：神经兴奋性、尖峰和爆发。国际法学分会。《混沌》10，1171-1266（2000）·Zbl 1090.92505号 ·doi:10.1142/S0218127400000840 [55] Jensen，H.J.：自组织批评。CUP（1998）·Zbl 0945.70001号 [56] Jones，C.K.R.T.，几何奇异摄动理论，No.1609，44-118（1995），柏林·兹比尔0840.58040 ·doi:10.1007/BFb0095239 [57] Kabanov，Y.，Pergamenschikov，S.：二尺度随机系统。柏林施普林格出版社（2003）·Zbl 1033.60001号 ·doi:10.1007/978-3-662-13242-5 [58] O.卡伦伯格：《现代概率基础》，第2版。斯普林格，纽约（2002）·Zbl 0996.60001号 [59] Keeling，M.J.、Rand，D.A.、Morris，A.J.：儿童流行病的相关模型。程序。R.Soc.B 264（1385），1149-1156（1997）·Zbl 0949.93059号 ·doi:10.1098/rspb.1997.0159 [60] Krupa，M.，Szmolyan，P.：将几何奇异摄动理论扩展到二维非双曲点——折叠点和鸭点。SIAM J.数学。分析。33（2），286-314（2001a）·Zbl 1002.34046号 ·doi:10.137/S0036141099360919 [61] Krupa，M.，Szmolyan，P.：扩展跨临界和干叉奇点附近的慢流形。非线性14，1473-1491（2001b）·Zbl 0998.34039号 ·doi:10.1088/0951-7715/14/6/304 [62] Krupa，M。；Szmolyan，P.，《奇摄动褶皱的几何分析》，第122期，第89-116页（2001年）·Zbl 1013.34057号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-1-4613-0117-2-4 [63] Krupa，M.，Popovic，N.，Kopell，N.：三个时间尺度系统中的混合模式振荡：一个典型示例。SIAM J.应用。动态。系统。7(2), 361-420 (2008) ·Zbl 1167.34346号 ·数字对象标识代码：10.1137/070688912 [64] Kuehn，C.：临界跃迁的数学框架：分岔、快-慢系统和随机动力学。《物理学D》240（12），1020-1035（2011）·Zbl 1225.35242号 ·doi:10.1016/j.physd.2011.02.012 [65] Kuehn，C.：自组织临界自适应网络中的时间尺度和噪声优化。物理学。版本E 85（2），026103-7（2012）·doi:10.1103/PhysRevE.85.026103 [66] Kuehn，C.，Zschaler，G.，Gross，T.：复杂系统中关键鞍形场景的早期预警信号。预印本（2012） [67] Kuske，R.：噪声延迟分岔的概率密度。《统计物理学杂志》。96(3), 797-816 (1999) ·Zbl 0988.37067号 ·doi:10.1023/A:1004658609270 [68] 于库兹涅佐夫。答：《应用分叉理论的要素》，第三版。施普林格，纽约（2004）·Zbl 1082.37002号 ·doi:10.1007/978-14757-3978-7 [69] Lenton，T.M.，Held，H.，Kriegler，E.，Hall，J.W.，Lucht，W.，Rahmstorf，S.，Schellnhuber，H.J.：地球气候系统中的倾斜元素。程序。国家。阿卡德。科学。美国105（6），1786-1793（2008）·Zbl 1215.86004号 ·doi:10.1073/pnas.0705414105 [70] Lindner，B.，Schimansky-Geier，L.：随机FitzHugh-Nagumo系统和相干共振的分析方法。物理学。E版60（6），7270-7276（1999）·doi:10.1103/PhysRevE.60.7270 [71] Meisel，C.，Kuehn，C.：关于癫痫发作的空间和时间多级动力学和缩放效应。公共科学图书馆·综合》7（2），1-11（2012）（e30371）·doi:10.1371/journal.pone.0030371 [72] Mishchenko，E.F.，Rozov，N.Kh.：小参数微分方程和松弛振动。Plenum，纽约（1980）（译自俄语）·兹比尔04822.34004 ·doi:10.1007/978-1-4615-9047-7 [73] Mishchenko，E.F.，Kolesov，Yu。S.、Kolesov、A.Yu、。，Rozov，N.Kh.：奇摄动系统中的渐近方法。纽约全体会议（1994年）·Zbl 0947.34046号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-1-4615-2377-2 [74] Mormann，F.、Andrzejak，R.G.、Elger，C.E.、Lehnertz，K.：癫痫预测：漫长而曲折的道路。《大脑》130，314-333（2007）·doi:10.1093/brain/awl241 [75] Nagumo，J.、Arimoto，S.、Yoshizawa，S.：模拟神经轴突的主动脉冲传输线。程序。IRE 502061-2070（1962）·doi:10.10109/JRPROC.1962.288235 [76] Neishtadt，A.I.：动态分岔稳定性损失的持续性。I.差异。等于。Transl.公司。231385-1391（1987年）·Zbl 0716.34064号 [77] Neishtadt，A.I.：动态分岔稳定性损失的持续性。二、。不同。等于。Transl.公司。24, 171-176 (1988) ·Zbl 0677.58035号 [78] Novak，B.，Pataki，Z.，Ciliberto，A.，Tyson，J.J.：裂变酵母细胞分裂周期的数学模型。混沌11（1），277-286（2001）·Zbl 0992.92022号 ·数字对象标识代码：10.1063/1.1345725 [79] Øksendal，B.：随机微分方程，第5版。柏林施普林格出版社（2003）·Zbl 1025.60026号 ·doi:10.1007/978-3-642-14394-6 [80] Perko，L.：微分方程和动力系统。施普林格，柏林（2001）·Zbl 0973.34001号 [81] Rinzel，J.，《可激发系统中爆发机制的形式分类》，伯克利·兹比尔0665.92003 [82] Scheffer，M.：《自然与社会的关键转变》。普林斯顿大学出版社，普林斯顿（2009） [83] Scheffer，M.，Carpenter，S.R.：生态系统中的灾难性政权转变：将理论与观测联系起来。经济趋势。进化。18(12), 648-656 (2003) ·doi:10.1016/j.tree.2003.09.002 [84] Scheffer，M.、Bascompte，J.、Brock，W.A.、Brovkhin，V.、Carpenter，S.R.、Dakos，V.和Held，H.、van Nes，E.H.、Rietkerk，M.和Sugihara，G.：临界跃迁的早期预警信号。《自然》461，53-59（2009）·doi:10.1038/nature08227 [85] Socha，L.：随机动态系统的线性化方法。柏林施普林格出版社（2008）·Zbl 1145.60034号 [86] Sowers，R.B.：鸭翼的随机扰动。J.西奥。普罗巴伯。21824-889（2008年）·Zbl 1255.60051号 ·doi:10.1007/s10959-008-0150-1 [87] Stommel，H.：具有两种稳定流态的热盐对流。Tellus 13，224-230（1961年）·doi:10.1111/j.2153-3490.1961.tb00079.x [88] 苏·J、鲁宾·J、特曼·D：噪声对椭圆爆发的影响。非线性17，133-157（2004）·Zbl 1083.37533号 ·doi:10.1088/0951-7715/17/1/009 [89] Szmolyan，P.，Wechselberger，M.：加纳德ℝ3.J.差异。等于。177, 419-453 (2001) ·兹比尔1007.34057 ·doi:10.1006/jdeq.2001.4001 [90] Thompson，J.M.T.，Sieber，J.：气候变化作为一种噪音分岔：一种预测技术。IMA J.应用。数学。76(1), 27-46 (2011) ·Zbl 1215.86011号 ·doi:10.1093/imamat/hxq060 [91] Touboul，J.，Wainrib，G.：具有奇异扩散系数的随机微分方程的分歧，第1-39页（2012年）。arXiv:1205.0172v1·Zbl 1090.86001号 [92] 泰森·J·J。；Chen，K.C。；Novak，B.，《嗅探器、蜂鸣器、拨动器和闪烁器：细胞中调节和信号通路的动力学》，第15期，221-231（2003） [93] van Gils，S.，Krupa，M.，Langford，W.F.：具有非半简单1:1共振的Hopf分岔。非线性3825-850（1990）·Zbl 0709.58027号 ·doi:10.1088/0951-7715/3/3/013 [94] van Nes，E.H.，Scheffer，M.：从扰动中缓慢恢复是附近灾难性转变的一般指标。《美国国家》169（6），738-747（2007）·doi:10.1086/516845 [95] Venegas，J.G.、Winkler，T.、Musch，G.、Vidal Melo，M.F.、Layfield，D.、Tgavalekos，N.、Fischman，A.J.、Callahan，R.J.、Bellani，G.和Harris，R.S.：哮喘中的自组织斑块是灾难性转变的前奏。《自然》434777-782（2005）·doi:10.1038/nature03490 [96] Venkadesan，M.，Guckenheimer，J.，Valero-Cuevas，F.J.：操纵不稳定性边缘。生物计量学杂志。40, 1653-1661 (2007) ·doi:10.1016/j.jbiomech.2007.01.022 [97] Veraart，A.J.、Faassen，E.J.、Dakos，V.、van Nes，E.H.、Lurling，M.、Scheffer，M.：回收率反映了到生命系统中临界点的距离。《自然》481，357-359（2012） [98] Wiggins，S.：《应用非线性动力系统与混沌导论》，第2版。施普林格，纽约（2003）·Zbl 1027.37002号 [99] Wolfram Research Inc.：数学版：8.0版（2010年）。Wolfram研究公司。 [100] Zagaris，A.、Kaper，H.G.、Kaper、T.J.：化学动力学计算奇异摄动法分析。非线性科学杂志。14, 59-91 (2004) ·Zbl 1053.92051号 ·doi:10.1007/s00332-003-0582-9 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。