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托德·坎普;伊凡·诺丁;乔瓦尼·佩卡蒂;罗兰·斯皮彻

维格纳混沌与第四时刻。 （英语） Zbl 1277.46033号

安·普罗巴伯。 40，第4期，1577-1635（2012）.
本文的主要定理是以下自由上下文中的中心极限定理（CLT），类似于普通概率环境中的CLT（参见，例如[D.努阿尔特和G.佩卡蒂，安。可能性。33，第1177-193号（2005年；邮编1097.60007)]).
{定理A.}设（n\geq2）和{mathbbN}}中的（f_k）_{k是（L^2（{mathbb R}_+^n）中的镜像对称函数序列，其中（f_k\|{L^2。以下陈述是等效的。
(1)
Wigner随机积分的四阶矩（I_n^S（f_k））（关于自由布朗运动）收敛到2，即。，\[\lim_{k\to\infty}{mathbb E}[I_n^S（f_k）^4]=2。\]
(2)
随机变量（I_n^S（f_k））按规律收敛到标准半圆分布（S（0,1）），即（k到infty）。
定理A的证明是通过矩的方法，在Wigner混沌的背景下，矩是用非交叉对和划分优雅地表示出来的。事实上，证明定理a的一个关键步骤是根据随机积分核上的标准积分收缩算子对四阶矩条件进行以下表征。
{定理B.}设（n在{mathbbN}中）和（（f_k）{k在{matHBbN}}中是（L^2（{mathbb R}_+^n）中的函数序列，带有（f_k\|{L^2。以下陈述是等效的。
(1)
随机积分的第四绝对矩（I_n^S（f_k））收敛到2，即。，\[\lim_{k\to\infty}{mathbb E}[|I_n^S（f_k）|^4]=2。\]
(2)
对于每个（p=1,2，点，n-1），\[\lim_{k\to\infty}f_k\overset{p}{frown}f_k^*=0\quad\text{in}\quad L^2（{mathbb R}_+^{2n-2p}），\]其中，L^2（{mathbb R}_+^n）中的（f）和L^2中的（g）的（p）-第个压缩（f）是由（f音符g）中中间变量的嵌套积分定义的函数。
利用定理A和定理B，证明了在经典混沌和自由混沌之间转换结果的Wiener-Wigner转移原理。
｛定理C.｝（Wiener-Wigner转移原理）设\（n\geq2\）和\（（f_k）_{k\in｛\mathbb n｝｝）是\（L^2（｛\mathbb R｝_+^n）\）中的完全对称函数序列。设（σ>0）为有限常数。然后，作为\（k\ to \ infty\）：
(1)
\（{mathbb E}[I_n^W（f_k）^2]）\（\ to \）\（n！\ sigma^2 \）当且仅当\（{mathbb E}[I_n ^S（f_k）^2]\）\。
(2)
如果满足（1）中的渐近关系，则（（I_n^W（f_k（|x|\leqslate 2\sigma\）的\sqrt{4\sigma^2-x^2}dx\）。
这个传递原理立即产生了平稳向量的Breuer-Major定理的自由模拟。也就是说，
{推论D.}（自由Breuer-Major定理）设（（X_k）_{k\在{mathbb Z}}中）是一个双无限随机变量的半圆系统，并设（rho（k）\）\（=\）\。假设有一个整数（n\geq 1），这样\[\sum_{k\在{\mathbb Z}}|f（k）|^n<\infty中。\]然后是序列\[V_m=\frac{1}{\sqrt{m}}\sum_{k=0}^{m-1}U_n（X_k）\quad\overset{\text{law}}{\longrightarrow}\quad S（0，\sigma^2）\]作为（m\to\infty），其中（sigma^2={mathbbZ}}（k）^n中的sum_{k），并且（U_n）是第二类切比雪夫多项式。
另一个特殊的关键点在于证明了对到半圆定律距离的一些精确的定量估计（见下文）。关键估计可以通过使用Malliavin演算获得。
{定理E.}（关键估计）设（S）为标准半圆随机变量。设\（F\）有一个有限Wigner混沌展开式，即，\[F=\sum_{n=1}^n I_n^S（F_n）\]对于一些镜像对称函数（L^2（{mathbbR}_+^n）中的f_n）和一些有限的。当\（h）具有傅里叶展开式时\[h（x）=hat{nu}（x）=int_{mathbbR}}e^{ix\xi}nu（d\xi），\]则半形式\（｛\mathcal J｝_2（h）\）被定义为\[{mathcal J}_2（h）=\int_{{mathbb R}}\xi^2|\nu|（d\xi），\]和（{mathcal C}_2）表示函数集（h）和（{mathcal J}_2（h）<infty）。然后\[\开始{对齐}d_{{mathcal C}_2}（F，S）&\equiv\sup_{\子堆栈{h\在{mathcalC}_2\\{mathcali J}_2（h）\leqslate 1}}|{mathbb E}[h（F）]-{mathbbE}[h（S）]|\\&\leqblate\frac{1}{2}{mathbb-E}\otimes{mathbb2E}\left（\left|\ int_0^{\infty}\nabla_t（N_0^{-1}F）\sharp（\nabla_t F）^*dt-1\otimes 1\right|\right）。\结束{对齐}\]
这里，（nabla）是自由Cameron-Gross-Malliavin导数，（N_0\equiv\delta\nabla）是带有散度算子的自由Ornstein-Uhlenbeck算子（或自由数算子），（sharp）是自由Malliavin演算中张量积值双过程的乘积（参见[P.比安、Commun。数学。物理学。184，第2期，457–474（1997年；兹伯利0874.46049)]和[I.诺尔丁和G.佩卡蒂，Malliavin演算的正态近似。从斯坦因的方法到普遍性。剑桥：剑桥大学出版社（2012；Zbl 1266.60001号)]). 有关其他相关工作，请参见，例如[I.诺尔丁和G.佩卡蒂，跨学科数学科学8207-236（2010；Zbl 1203.60065号)]. 特别是对于Stein的方法，请参见[I.诺尔丁和G.佩卡蒂，Probab。理论关联。Fields 145，No.1-2，75–118（2009；Zbl 1175.60053号)]，关于Malliavin演算应用于中心极限定理的一些示例，请参见[D.努阿尔特和S.Ortiz-Latorre公司，随机过程。申请。118，第4期，614-628（2008年；Zbl 1142.60015号)].
审核人：Isamu Doku（斋戒）

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MSC公司：

46升54 自由概率与自由算子代数
07年6月60日 随机变分法和Malliavin演算
60华氏30 随机分析的应用（PDE等）

关键词：

自由概率;维格纳混沌;中心极限定理;Malliavin演算

引文：

邮编1097.60007;Zbl 0874.46049号;Zbl 1266.60001号;Zbl 1203.60065号;Zbl 1175.60053号;Zbl 1142.60015号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛T.Kemp｝等人，Ann.Probab。40，第4号，1577--1635（2012；Zbl 1277.46033）
全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得

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