肯特·安德烈·马尔达尔;拉格纳尔·温特 偏微分方程组的预处理离散化。 （英语） Zbl 1249.65246号 数字。线性代数应用。 18，第1号，1-40（2011）. 本文综述了在希尔伯特空间中构造微分算子预条件子的一种抽象方法。首先，这个想法是在Krylov空间方法的背景下提出的。然后，作者集中讨论抽象鞍点问题、参数相关（奇异摄动）问题以及预处理有限元系统的一般方法。本文包含许多例子，包括拉普拉斯算子、麦克斯韦问题、斯托克斯问题、反应扩散问题、Reissner-Mindlin板模型和最优控制问题。审核人：托马斯·韦乔德斯克（普拉哈） 引用于136文件 MSC公司： 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65F08个 迭代方法的前置条件 35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程 35季度30 Navier-Stokes方程 35Q61问题 麦克斯韦方程组 35K57型 反应扩散方程 74K20型 盘子 65K10码 数值优化和变分技术 49甲15 常微分方程最优控制问题的存在性理论 35B25型 偏微分方程背景下的奇异摄动 65层10 线性系统的迭代数值方法 关键词：预处理;有限元法;离散系统;Krylov空间方法;鞍点问题;（奇摄动）问题;拉普拉斯算子;麦克斯韦问题;斯托克斯问题;反应扩散问题;Reissner-Mindlin板模型;最优控制问题 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.-A.Mardal}和\textit{R.Winther}，数字。线性代数应用。18，第1号，1-40（2011；Zbl 1249.65246） 全文： 内政部 参考文献： [1] Arnold，Reissner-Mindlin板模型的预处理离散近似，RAIRO Modélisation Mathématique et Analyse Numérique 31（4）pp 517–（1997） [2] 阿诺德，H（div）中的预处理与应用，计算数学66 pp 957–（1997）·Zbl 0870.65112号 ·doi:10.1090/S0025-5718-97-00826-0 [3] Babuška，《有限元法的数学基础及其在偏微分方程中的应用》第3页–（1972）·doi:10.1016/B978-0-12-068650-6.50006-X [4] Babuška，有限元方法的误差界限，Numerische Mathematik 16 pp 322–（1971）·Zbl 0214.42001号 ·doi:10.1007/BF0216503 [5] Hittmair，操作员预处理，计算机和数学及其应用52（5），第699页–（2006）·Zbl 1125.65037号 ·doi:10.1016/j.camwa.2006.10008 [6] 埃尔曼，《数值数学与科学计算》（2005） [7] Vassilevski，多层块分解预条件（2008） [8] Vassilevski，小波分析及其应用，in：偏微分方程的多尺度小波方法第59页–（1997）·doi:10.1016/S1874-608X（97）80004-0 [9] Hestenes，求解线性系统的共轭梯度方法，国家标准局研究杂志49页409–（1952）·Zbl 0048.09901号 ·doi:10.6028/jres.049.044 [10] Golub，矩阵计算（1989） [11] Hackbusch，大型稀疏方程组的迭代解（1994）·Zbl 0789.65017号 ·doi:10.1007/978-1-4612-4288-8 [12] Trefethen，数值线性代数（1997）·doi:10.137/1.9780898719574 [13] Axelsson，关于一类预处理方法的特征值分布，Numerische Mathematik 48 pp 479–（1986）·Zbl 0564.65016号 ·doi:10.1007/BF01389447 [14] Axelsson，关于预处理共轭梯度法的收敛速度，数值数学48 pp 499–（1986）·Zbl 0564.65017号 ·doi:10.1007/BF01389448 [15] 共轭梯度法求解大型线性方程组（1983） [16] Chandra，第129号报告（1978年） [17] Paige，稀疏不定线性方程组的解，SIAM数值分析杂志12第617页–（1975）·Zbl 0319.65025号 ·数字对象标识代码：10.1137/0712047 [18] Rusten，鞍点问题的预处理迭代方法，SIAM矩阵分析与应用杂志13（3），第887页–（1992）·Zbl 0760.65033号 ·数字对象标识代码：10.1137/0613054 [19] Silvester，稳定Stokes系统的快速迭代解。第一部分：使用简单对角线预条件，SIAM数值分析杂志30（3）pp 630–（1993）·Zbl 0776.76024号 ·doi:10.1137/0730031 [20] Silvester，稳定Stokes系统的快速迭代解。第二部分：使用块对角预条件，SIAM数值分析杂志31（5）pp 1352–（1994）·Zbl 0810.76044号 ·doi:10.1137/0731070 [21] Winther，共轭梯度法的一些超线性收敛结果，SIAM数值分析杂志17（1）第14页–（1980）·Zbl 0447.65021号 ·doi:10.1137/0717002 [22] D'Yakonov，《关于有限差分方程的迭代解法》，Doklady Akademii Nauk SSSR 138 pp 522–（1961） [23] Gunn，《用半显式迭代技术求解差分方程》，SIAM数值分析杂志2，第24页–（1965）·Zbl 0137.33301号 [24] Brezzi，关于拉格朗日乘子引起的鞍点问题的存在唯一性和逼近，RAIRO Analyse Numérique 8 pp 129–（1974）·兹比尔0338.90047 [25] Brezzi，混合和混合有限元方法（1991）·Zbl 0788.7302号 ·doi:10.1007/978-1-4612-3172-1 [26] Haug，拉格朗日乘子系统的域嵌入预处理器，《计算数学》69第65页–（1999）·Zbl 0936.65131号 ·doi:10.1090/S0025-5718-99-01076-5 [27] Rusten，椭圆鞍点问题的子结构预条件，计算数学60（201）pp 23–（1993）·Zbl 0795.65072号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1993-1149293-0 [28] Nečas，《党派方程式》（1965） [29] Bergh，插值空间（1976）·doi:10.1007/978-3-642-66451-9 [30] 带角的二维或三维域上的Dauge、Stationary Stokes和Navier-Stokes系统。I.线性化方程，SIAM数学分析杂志20（1），第74页–（1989）·Zbl 0681.35071号 ·数字对象标识代码：10.1137/0520006 [31] Mardal，Erratum：含时Stokes问题的统一预条件[Numer.Math.98（2004），no.2，305-327]，Numerische Mathematik 103（1）pp 171–（2006）·Zbl 1094.65045号 ·doi:10.1007/s00211-005-0663-9 [32] Schöberl J私人通信 [33] Bramble，时间相关Stokes问题的迭代技术，计算机和数学应用。《国际期刊》33（1-2）第13页–（1997）·Zbl 1030.76506号 ·doi:10.1016/S0898-1221（96）00216-7 [34] Cahouet，广义Stokes问题的一些快速三维有限元解算器，流体数值方法国际期刊8（8），第869页–（1988）·Zbl 0665.76038号 ·doi:10.1002/传真：1650080802 [35] Elman，计算流体动力学中出现的鞍点问题的前置条件，应用数值数学。IMACS期刊43（1-2）第75页–（2002）·Zbl 1168.76348号 ·doi:10.1016/S0168-9274（02）00118-6 [36] Elman，离散稳态Navier-Stokes方程鞍点预条件的性能和分析，数值数学90（4）pp 665–（2002）·Zbl 1143.76531号 ·doi:10.1007/s002110100300 [37] Kobelkov，广义Stokes问题的Uzawa型格式的有效预处理，Numerische Mathematik 86 pp 443–（2000）·Zbl 0964.65129号 ·doi:10.1007/s002110000160 [38] Langtangen，不可压缩粘性流的数值方法，《水资源进展》25（8）pp 1125–（2002）·doi:10.1016/S0309-1708（02）00052-0 [39] Mardal，时间相关Stokes问题的一致预处理器，Numeriche Mathematik 98（2），第305页–（2004）·Zbl 1058.65101号 ·doi:10.1007/s00211-004-0529-6 [40] Olshanskii，参数相关鞍点问题的一致预条件及其在广义Stokes界面方程中的应用，Numerische Mathematik 105 pp 159–（2006）·Zbl 1120.65059号 ·文件编号：10.1007/s00211-006-0031-4 [41] Turek，不可压缩流问题的高效求解器（1999）·Zbl 0930.76002号 ·doi:10.1007/978-3-642-58393-3 [42] Borz，最优控制优化系统有限差分多重网格解的精度和收敛性，SIAM控制与优化杂志41（5）pp 1477–（2003）·Zbl 1031.49029号 ·doi:10.1137/S0363012901393432 [43] Mathew，椭圆最优控制问题的块矩阵预处理器分析，数值线性代数及其应用14（4）第257–（2007）页·Zbl 1199.65218号 ·doi:10.1002/nla.526 [44] Schöberl，鞍点问题的对称不定预条件及其在PDE约束优化问题中的应用，SIAM矩阵分析与应用杂志29（3）pp 752–（2007）·Zbl 1154.65029号 ·数字对象标识代码：10.1137/060660977 [45] Falk，混合方法的误差估计，RAIRO Analyse Numérique 14 pp 249–（1980） [46] Bramble，《皮特曼数学科学研究笔记：多重网格方法》（1993） [47] Briggs，多重网格教程（2000）·Zbl 0958.65128号 ·doi:10.1137/1.9780898719505 [48] Smith，域分解（1996） [49] Bramble，sobolev范数的计算量表及其在预处理中的应用，《计算数学》69，第463页–（2000）·Zbl 0941.65052号 ·doi:10.1090/S0025-5718-99-01106-0 [50] Cai，抛物型对流扩散方程的加性Schwarz算法，数值数学60第41页–（1991）·Zbl 0737.65078号 ·doi:10.1007/BF01385713 [51] 蔡，抛物问题的乘法Schwarz方法，SIAM科学计算杂志15（3）第587页–（1994）·兹比尔0803.65096 ·doi:10.1137/0915039 [52] Olshanskii，关于线性反应扩散问题多重网格方法的收敛性，计算65（3）pp 193–（2000）·Zbl 0972.65082号 ·doi:10.1007/s00607007006 [53] 蔡，带惩罚的混合有限元系统的多层迭代，SIAM科学计算杂志14 pp 1072–（1993）·Zbl 0809.65114号 ·doi:10.1137/0914065 [54] Arnold，非凸多边形上H（div）的多重网格预处理，《计算与应用数学杂志》17页307–（1998）·Zbl 0922.65078号 [55] 阿诺德，H（div）和H（curl）中的多重网格，《数值数学》85页197–（2000）·Zbl 0974.65113号 ·doi:10.1007/PL00005386 [56] Hiptair，三维H（div）的多网格方法，《数值分析电子汇刊》第133页（1997）·Zbl 0897.65046号 [57] Hiptmair，Maxwell方程的多重网格法，SIAM数值分析杂志36（1），第204页–（1999）·Zbl 0922.65081号 ·doi:10.1137/S0036142997326203 [58] Vassilevski，椭圆问题混合有限元离散化的多层迭代方法，数值数学63（4）pp 503–（1992）·Zbl 0797.65086号 ·doi:10.1007/BF01385872 [59] Vassilevski，抽象多层理论在非协调有限元方法中的应用，SIAM数值分析杂志32（1），第235页–（1995）·Zbl 0828.65125号 ·数字对象标识代码：10.1137/073208 [60] 阿诺德，《有限元外部微积分同源技术及应用》，《数值学报》15第1页–（2006）·Zbl 1185.65204号 ·doi:10.1017/S0962492906210018 [61] Hiptair，H（旋度）和H（div）空间中的节点辅助空间预处理，SIAM数值分析杂志45（6）第2483页–（2007）·Zbl 1153.78006号 ·电话：10.1137/060660588 [62] Benzi，鞍点问题的数值解法，《数值学报》14第1页–（2005）·Zbl 1115.65034号 ·doi:10.1017/S0962492904000212 [63] Kay，稳态Navier-Stokes方程的预条件，SIAM科学计算杂志24（1），第237页–（2002）·Zbl 1013.65039号 ·doi:10.1137/S106482759935808X [64] Axelsson，约束优化问题中线性系统的预处理方法，数值线性代数及其应用10 pp 3–（2003）·Zbl 1071.65527号 ·doi:10.1002/nla.310 [65] Perugia，混合有限元公式的块对角和不定对称预条件，数值线性代数及其应用7 pp 585–（2000）·Zbl 1051.65038号 ·doi:10.1002/1099-1506（200010/12）7:7/8<585:：AID-NLA214>3.0.CO；2楼 [66] Bramble，椭圆问题混合近似不定系统的预处理技术，计算数学50 pp 117–（1988）·Zbl 0649.65061号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1988-0917816-8 [67] Benzi，不定（1，1）块鞍点系统的块预处理，国际计算机数学杂志84（8）pp 1117–（2007）·兹比尔1123.65028 ·doi:10.1080/00207160701356605 [68] Benzi，基于拉格朗日的Oseen问题增强方法，SIAM科学计算杂志28页2095–（2006）·Zbl 1126.76028号 ·doi:10.1137/050646421 [69] Benzi M Olshanskii马旺Zhttp://www.mathcs.emory.edu/molshan/OLSH/publ.html [70] Klawonn，带罚项鞍点问题的块三角预条件，SIAM科学计算杂志19（1），第172页–（1998）·Zbl 0917.73069号 ·doi:10.1137/S1064827596303624 [71] Klawonn，非对称鞍点问题的块三角预条件：值场分析，数值数学81 pp 577–（1999）·Zbl 0922.65021号 ·doi:10.1007/s002110050405 [72] Loghin，鞍点问题的预处理器分析，SIAM科学计算杂志，第25页，第2029页–（2004）·Zbl 1067.65048号 ·doi:10.1137/S1064827502418203 [73] Olshanskii，离散Oseen问题的Pressure Schur补码预条件，SIAM科学计算杂志29页2686–（2007）·Zbl 1252.65070号 ·数字对象标识代码：10.1137/070679776 [74] Pasciak，线性平面弹性混合公式的多重网格预处理程序，SIAM数值分析杂志44（2），第478页–（2006）·Zbl 1109.74049号 ·doi:10.1137/040617820 [75] 王，平面弹性混合公式的重叠Schwarz预条件，应用数值数学。IMACS期刊54（2）第292页–（2005）·Zbl 1081.74044号 ·doi:10.1016/j.apnum.2004.09.032 [76] Arnold，弹性混合有限元，Numerische Mathematik 92（3）pp 401–（2002）·Zbl 1090.74051号 ·doi:10.1007/s002110100348 [77] Arnold，三维对称张量的有限元，《计算数学》77（263）pp 1229–（2008）·Zbl 1285.74013号 ·doi:10.1090/S0025-5718-08-02071-1 [78] Arnold，弱对称线性弹性的混合有限元方法，《计算数学》76（260），第1699页–（2007）·兹比尔1118.74046 ·doi:10.1090/S0025-5718-07-01998-9 [79] 胡，调和映射计算的鞍点方法，SIAM数值分析杂志47（2），pp 1500–（2009）·Zbl 1219.49030号 ·数字对象标识代码：10.1137/060675575 [80] Mardal，离散Bidomain方程的阶最优解算器，数值线性代数及其应用14（2），第83页–（2007）·Zbl 1199.65111号 ·doi:10.1002/nla.501 [81] Sundnes，模拟心脏电活动的偏微分方程耦合系统的多重网格块预处理，生物力学和生物医学工程中的计算机方法5（6）pp 397–（2002）·doi:10.1080/1025584021000025023 [82] Sundnes，《计算心脏的电活动》（2006年） [83] Lyche，离散数据插值的预处理迭代方法，计算数学进展17（3），第237页–（2002）·兹比尔0999.65120 ·doi:10.1023/A:1016050415412 [84] Mardal，应用于抛物线偏微分方程的隐式Runge-Kutta格式的阶最优预条件，SIAM科学计算杂志29（1），第361页–（2007）·Zbl 1133.65071号 ·数字对象标识码：10.1137/05064093X [85] Staff，抛物线偏微分方程全隐式Runge-Kutta格式的预处理，建模、识别和控制27（2），第109页–（2006）·doi:10.4173/mic.2006.2.3 [86] Girault，计算数学中的Springer级数，in：Navier-Stokes方程的有限元方法（1986）·Zbl 0585.65077号 ·doi:10.1007/978-3-642-61623-5 [87] Mardal，使用Diffpack-高级主题的计算偏微分方程（2003） [88] 布雷齐，斯托克斯问题的稳定混合方法，数值数学53（1-2）pp 225–（1988）·Zbl 0669.76052号 ·doi:10.1007/BF01395886 [89] Franca，弹性方程的一些Galerkin最小二乘法的误差分析，SIAM数值分析杂志28（6）pp 1680–（1991）·Zbl 0759.73055号 ·数字对象标识代码：10.1137/0728084 [90] 休斯，计算流体动力学的新有限元公式：VII。具有各种适定边界条件的Stokes问题：收敛于所有速度/压力空间的对称公式，《应用力学和工程中的计算机方法》65 pp 85–（1987）·Zbl 0635.76067号 ·doi:10.1016/0045-7825（87）90184-8 [91] Hughes，计算流体动力学的新有限元公式：V.绕过Babuska-Brezzi条件：Stokes问题的稳定Petrov-Galerkin公式，适应等阶插值，应用力学和工程中的计算机方法59 pp 85–（1986）·Zbl 0622.76077号 ·doi:10.1016/0045-7825（86）90025-3 [92] Rusten，椭圆问题混合有限元近似的内部惩罚预条件，计算数学65（214）pp 447–（1996）·兹比尔0857.65117 ·doi:10.1090/S0025-5718-96-00720-X [93] 徐，非结构网格的辅助空间方法和最优多重网格预处理技术，计算56 pp 215–（1996）·Zbl 0857.65129号 ·doi:10.1007/BF02238513 [94] Mardal，Darcy-Stokes流的稳健有限元方法，SIAM数值分析杂志40 pp 1605–（2002）·Zbl 1037.65120号 ·doi:10.1137/S0036142901383910 [95] Tai，一个离散的德拉姆复合体，光滑度增强，Calcolo 43第287页–（2006）·Zbl 1168.76311号 ·doi:10.1007/s10092-006-0124-6 [96] Schöberl，原始变量中参数相关问题的多重网格方法，数值数学84 pp 97–（1999）·Zbl 0957.74059号 ·doi:10.1007/s002110050465 [97] Falk，数学课堂讲稿，收录于：混合有限元相容条件和应用第195–（1939）页 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。