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Hilbert空间嵌入与概率测度度量。(英语) Zbl 1242.60005
摘要:最近提出了一种用于概率测度的Hilbert空间嵌入,其应用包括降维、均匀性检验和独立性检验。这种嵌入将任何概率测度表示为再生核Hilbert空间(RKHS)中的平均元。概率测度空间上的伪度量可以定义为分布嵌入之间的距离:我们将其表示为\(\gamma{k}),由定义RKH内积的核函数\(k\)索引。我们给出了\(\gamma{k})的三个理论性质。首先,我们考虑确定核上的条件的问题,其中\(\gamma{k})是一个度量:这样的\(k\)被表示为特征核。与伪度量不同,只有当两个分布重合时,度量才为零,从而确保RKHS嵌入唯一地映射所有分布(即嵌入是内射的)。虽然以前发表的条件可能只适用于有限的情况(例如,在紧域上),并且很难检查,我们的条件是直接和直观的:积分严格正定核是特征。或者,如果一个有界连续核在\(\mathbb{R}^{d}\)上是平移不变的,那么它是特征的当且仅当其Fourier变换的支持是整个\(\mathbb{R}^{d}\)。第二,我们通过证明当分布的差异出现在更高的频率时,在嵌入空间中分布是接近的,从而证明了在(\gamma{k})下分布之间的距离是由核的性质和分布之间的相互作用造成的。第三,为了了解\(\gamma{k})所诱导的拓扑的性质,我们将\(\gamma{k})与其他概率测度的度量联系起来,并在核\(k\)上给出了\(\gamma{k})度量弱拓扑的条件。

理学硕士:
60B05型 拓扑空间上的概率测度
60磅10 概率测度的收敛性
46号30 函数分析在概率论和统计学中的应用
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