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局部紧阿贝尔群上的Turán极值问题。 (英语) Zbl 1240.22005年

摘要:设(G)是局部紧阿贝尔群(LCA群),(Omega)是开的0-对称集。设\(\mathcal F:=\mathcalF(\Omega)\)是所有连续函数\(F:G\ to \mathbb R\)的集合,这些函数在\(\Omega\)中得到支持,并且是正定的。Turán常数\(\Omega\)定义为\[\mathcal T(\Omega):=\sup\big\{\int_\Omegaf:f\in\mathcal f(\Omega),f(0)=1\big\}。\]M.Kolountzakis和作者已经证明,有限、紧或欧几里德(即,mathbb R^d)群和(mathbb Z^d)中的子集(ω)的结构性质,如谱性、平铺或与某一组(λ)的堆积,产生了对(mathcal T(omega)的估计。然而,在这些估计中,一些关于大小的概念,即密度(λ)发挥了自然作用,因此,在我们没有掌握该概念的群体中,我们无法完成此类估计。
在目前的工作中,引用了渐近均匀上密度的最新广义概念,允许对与上述结构性质有关的Turán常数进行更一般的研究。我们的主要结果扩展了早期的结果,即欧氏空间的凸瓦必然具有\[\mathcal T_{\mathbb R^d}(\Omega)=|\Omega|/2^d。\]在我们的推广中,\(mathbb R^d)可以被任何LCA群所取代,凸性被大大放宽到\(Omega)是一个差集,拼接的条件也被放宽到一定的填充型条件和集的正渐近一致上密度。
此外,我们的目标是更全面地叙述所有相关的事态发展和历史,因为到目前为止,还没有对所谓的图兰问题的全部背景进行详尽的概述。

MSC公司:

22号B10 LCA群的群代数的结构
43A35型 群、半群等上的正定函数。
05B40号 包装和覆盖的组合方面
11公里70 概率数论中的调和分析与概周期性

关键词:

图兰极值问题
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