伊曼纽尔·坎迪斯。;本杰明·雷赫特 通过凸优化实现精确矩阵补全。 （英语） Zbl 1219.90124号 已找到。计算。数学。 9，第6期，717-772（2009）. 作者通过求解一个凸优化问题，从其元素的采样中恢复数据矩阵。他们首先考虑低秩矩阵的情况，并证明了如果采样项的数目服从（m\geq-Cn^{1.2}个对于某个正数值常数（C），则在很高的概率下，通过求解一个简单的凸优化问题，大多数秩为（r）的矩阵都可以完全恢复。作者证明，半定规划可以找到与数据相匹配的核范数最小的矩阵。将指数\（1.2）替换为\（1.25），结果适用于秩的所有值。这个有趣的综述包括关于（n）维实空间线性子空间的相干和非相干以及关于酉变换的非相干的最新结果E.J.Candes和J.Romberg[反向问题23，第3期，969–985（2007年；邮编1120.94005)]关于抽样算子的性质和随机正交模型。有关凸优化方法的一般讨论以及该领域的具体技术成果，请参阅N.绍尔[不可微优化与多项式问题。非凸优化及其应用。24。多德雷赫特：Kluwer学术出版社。(1998;Zbl 0901.49015号)].对于（n）维实空间的维（r）的子空间（U）和（U）上的正交投影（{mathcal P}_U），本文作者定义了（U）（相对于标准基（{mathbf e}_i））的相干为\[\mu（U）\equiv\frac{n}{r}\max\|{mathcal P}_U{mathbf e}_i\|^2。\]为了说明他们的主要结果，他们引入了关于一个奇异值分解由（{mathcal M}=\sum_{1\leq k\leq r}\sigma_{k}{mathbf u}{k}{mathbfv}^{*}{k{}）给出的（n1乘n2）矩阵的两个假设，列和行空间分别由（u\）和（v，\）表示：（A0）对于某些正的（mu_0），相干服从最大值（mu（U），mu（V））。（A1）矩阵（sum_1\leqk\leqr}{\mathbfu}_{k}{\Mathbfv}^{*}{k}）的最大入口以某些正（mu_1）的绝对值中的（mu_1\sqrt{r/（n_1n_2）}为界。在这些假设下，本文的主要结果断言，如果矩阵具有与标准基不相干的行和列空间，则核范数最小化可以从少量条目的随机抽样中恢复该矩阵本文分为八个部分：1引言。2哪些矩阵是不相干的？3二元性。4证明体系结构。5与随机图论的联系。6临界引理的证明。7数值实验。8讨论。第一种方法通过约束最小化来处理矩阵完成问题，并证明了作者选择考虑一种替代方法的合理性，该方法使矩阵（X）（矩阵核范数（X）{*}）的非零奇异值之和在约束集（问题（1.5））上最小化：\[\text{minimize}\|X\|{*}\text{subject to}X_{ij}={\mathcal M}_{ij}\；（i，j）在欧米茄。\]第2节介绍了随机正交模型，以及更一般地说，具有非相干列和行空间的矩阵。在第三节中，作者建立了保证真低秩矩阵是问题（1.5）唯一解的充分条件。其中一个条件是存在满足两个关键性质的对偶向量。“第4节构造了这样一个对偶向量，并提供了证明的总体结构，该证明表明，实际上，只要测量次数足够大，该向量就符合所需的属性。令人惊讶的是，如第5节所探讨的，对偶向量的存在证明了\（{mathcal M}\）它与随机图论中的一些问题有关，包括优惠券收集者问题。在此讨论之后，我们通过几个中间结果来证明我们的主要结果，这些结果都在第节中得到了证明。6.第7节介绍了数值实验，表明基于核范数极小化的矩阵补全方法在实际中效果良好。第8节以我们的调查结果的简短总结结束本文，并讨论了重要的扩展和改进。”附录包含了一个事实的证明（第4节的定理4.2），即算子（{mathcal P}{T}{mathcalP}{Omega}{mathcal P{{T}）（投影器（{mathcal P}）在线性空间（T）上的乘积和正交投影器在集合（Omega）中的指数与观测条目对应的位置（{mathcal M}_{ij}）在浓度不等式之后的部分中没有偏离其预期值M.塔拉格兰[发明数学.126（3）505-563（1996；Zbl 0893.60001号)]以及与Rademacher级数的Schatten（q）范数有关的第（q）阶矩的界的结果（第6节引理6.2）。引理6.2的证明基于F.色品[C.R.科学院，巴黎，SéR.I 303289–292（1986；Zbl 0592.47038号)]和A.布赫霍尔茨[数学年鉴319，1-16（2001；Zbl 0991.46035号)].用于证明主要定理的一些结果和估计是独立的。有一个大约四十个项目的参考书目。审核人：尼古拉·格拉祖诺夫（基辅） 引用于三评论引用于710文件 MSC公司： 90C25型 凸面编程 90 C59 数学规划中的近似方法和启发式 15B52号 随机矩阵（代数方面） 90-02 与运筹学和数学规划有关的研究博览会（专著、调查文章） 关键词：矩阵完成;低秩矩阵;奇异值分解;凸优化;最优化中的对偶性;核范数最小化;随机矩阵;非交换Khintchine不等式;解耦;压缩感知 引文：邮编1120.94005;Zbl 0901.49015号;Zbl 0893.60001号;Zbl 0592.47038号;Zbl 0991.46035号 软件：塞杜米;SDPT3系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.J.Candès}和\textit{B.Recht}，发现。计算。数学。9，第6号，717--772（2009；Zbl 1219.90124） 全文： 内政部 参考文献： [1] ACM SIGKDD，Netflix，KDD Cup和Workshop会议记录（2007年）。会议记录可在线查阅网址：http://www.cs.uic.edu/\（\sim\）liub/KDD-cup-2007/proceedings.html。 [2] T.Ando，R.A.Horn，C.R.Johnson，《哈达玛积的奇异值：一个基本不等式》，《线性多线性代数》21，345–365（1987）·Zbl 0633.15011号 ·网址：10.1080/0308108870708817810 [3] 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