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迈克尔·比森

构造几何。 （英语） 兹比尔1193.03021

Arai，T.（编辑）等人，《第十届亚洲逻辑会议论文集》，日本神户，2008年9月1日至6日。新泽西州哈肯萨克：世界科学（ISBN 978-981-4293-01-3/hbk；978-981-14293-02-0/电子书）。19-84 (2010).
自1925年布劳沃最有影响力的学生海廷博士论文以来，直觉几何公理系统就一直被提出。海廷的学生D.van Dalen继续研究射影平面和仿射平面的直觉公理系统，其中公理系统的语言只包含关系符号，其中正距离上的点的二元伙伴关系。后来，M.伦巴第和R.韦斯利[“经典和直觉平面几何的公共公理集”，Ann.Pure Appl.Logic 95，No.1–3，229–255（1998；Zbl 0922.03082号)]在一种完全由平面欧几里德几何的关系符号组成的语言中提供了一个直觉主义公理系统，如果逻辑符号被经典地读取，则该公理系统将变为等价于塔斯基在实闭域上平面欧几里德几何的公理系统。通过首次为一阶逻辑中标尺和除数结构的平面欧几里德几何提供无量词公理化，在没有关系符号的语言中，N.鼹鼠和P.Suppes公司[数学作曲.20143-152（1968；Zbl 0183.24902号)]发起了一场运动，该运动在评论家的论文中进行了调查[J.Appl.Log.6，No.1，24-46（2008；Zbl 1143.03007号)]将几何结构置于公理化的核心。到目前为止，唯一一个遵循直觉的尝试是J.von柏拉图【Ann.Pure Appl.Logic 76，No.2，169-200（1995；Zbl 0836.03034号)]在P.Martin-Löf的构造型理论中，非常弱的几何被提供了一个无量词的公理化。
本文的目标远比其任何前任的目标都要雄心勃勃，因为它不仅旨在提供标尺和指南针结构的欧几里得几何的无量词、无析取和无伙伴的直觉公理化（称为心电图)，其中所有构造操作在其定义域上的所有变量中都是连续的，同时也表明“欧几里德本质上是构造的”，即。欧几里德的48个二维结构及其实现目标的证据可以在内部进行相当忠实的建模心电图非常忠实地延伸ECGD公司（因此，本文的目的之一与J.阿维加德,E.院长、和J.穆玛[Rev.Symb.Log.2，No.4，700–768（2009年；Zbl 1188.03008号)]).
表达公理系统的多分类语言包含点、线、圆的单个变量，代表三个非共线点的三个独立常数，点线和点圆关联的关系符号，严格介于B类、等距（δ），以及线-线相交、线-圆相交、圆-圆相交的操作符号、在线点、圆心、点-圆、带给定中心的圆心与通过给定点的圆心、带给定圆心与给定半径的圆心的操作符号，对于由两点决定的线路。考虑到许多运算都是未定义的，以防自变量不允许有意义的几何定义，公理用偏项逻辑表示，其中，无论何时\（t\）是一个项，\（t\向下箭头\）都是一个公式（意思是“\（t\）已定义”）。有74个不含量词、不含析取的公理可以公理化心电图其中最值得注意的是各种“马尔可夫原则”——相当于与自身关系的双重否定——对于平等，B类点线关联、点圆关联以及平行公设的特殊形式（公理58），规定“如果（K）通过点（p）平行于（L），那么通过（p）的任何其他线都必须满足（L）”，这比欧几里德的公设5更具建设性，在后者无法被证明的意义上心电图（正如作者在即将发表的论文中所示）。作者还证明心电图用经典的方式解释逻辑符号，就等同于经典的，如塔斯基的，欧几里德有序域上的平面欧几里得几何，并且每当心电图用经典逻辑证明，心电图用直觉主义逻辑证明了\（A\）的双重否定解释（通过将\（\exists）替换为\；没有必要用原子（α）替换（α），因为通过对所有关系采用马尔可夫规则公理，它们在心电图). 对于上述Lombard和Vesley论文中的理论公理化，也获得了这一结果。心电图无法证明语句\（B\neq C\wedge｛\mathbf B｝（A，B，D）\wedge｛\mathbf B｝（A，C，D）\supset（｛\mathbf B｝（A，B，C）\vee｛\mathbf B｝ECGD公司.作者证明的表示定理心电图，用于ECGD公司、和用于心电图Axiom 58被欧几里得的Postulate 5取代，揭示了在直觉环境中，有三个不同的欧几里得域概念对应于这三个理论，它们的模型同构于属于三类之一的欧几里得域上的笛卡尔平面。
评论者评论：有一些打字错误，大多数都很容易被注意到。在第45页公理18中，我们发现我们确实允许退化圆，这是在陈述公理26时没有考虑到的一个事实（之前，在第31页，我们被告知，中心为（a）穿过（a）的圆是未定义的），由于作者在撰写本文的不同阶段对是否允许退化圆有不同的计划。在第48页的定义39和40中，（交叉线）必须介于（P）和（Q）之间，在第49页的定义43中，应该有（负{交叉线B}（Q，O，B））。它还显示出陈述两点之间距离对称性的公理，即。省略了\（delta（A，B，B，A）\）语句。Axiom 51出现后就变得多余了。
关于整个系列，请参见[邮编：1185.03004].
审核人：维克托·潘布奇（凤凰城）

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MSC公司：

03B30型 经典理论基础（包括逆向数学）
03楼55 直觉数学
65楼03号 其他构造数学
2005年5月5日 欧几里德几何（一般）和推广

关键词：

欧几里德几何;直觉逻辑;几何结构

引文：

Zbl 0922.03082号;Zbl 0183.24902号;Zbl 1143.03007号;Zbl 0836.03034号;Zbl 1188.03008号
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\textit{M.Beeson}，in：第十届亚洲逻辑会议论文集，日本神户，2008年9月1-6日。新泽西州哈肯萨克：《世界科学》。19-84（2010；Zbl 1193.03021）