×

随机矩阵简介。 (英语) Zbl 1184.15023号

剑桥高等数学研究118.剑桥:剑桥大学出版社(ISBN 978-0-521-19452-5/hbk)。xiv,492页。(2010).
随机矩阵的性质,特别是其特征值的性质在许多科学领域和纯数学中都很重要。
本书的目标是对随机矩阵的基本理论(包括自由概率)进行严格的介绍,以便数学或相关科学领域的研究生能够接触到,他们在研究生水平上掌握了概率理论,但不一定是函数分析的高级领域,代数和几何。这本书分为五章和几个附录。
在简短介绍后的前三章中,考虑了实Wigner矩阵和复Wigner阵。维格纳定理认为,在适当的条目定律假设下,维格纳矩阵特征值的经验测度收敛于确定性概率测度,即半圆定律。给出了维格纳定理的几个证明,其中一个是使用组合技术,该技术也用于给出维格纳矩阵的中心极限定理和谱半径的估计。定义了测度的Stieltjes变换,并将其用于提供Wigner定理的另一个证明。在分析了条目按一般规律分布的矩阵性质之后,讨论了涉及附加对称性的特殊情况。其中最简单的是高斯正交系综(GOE)和高斯酉系综(GUE)。它们的额外对称性对于导出特征值的显式联合分布很重要。GUE特征值的联合密度的表达式是用包含适当正交多项式的行列式表示的,用于研究0处的间隙概率,即原点周围的区间内不存在特征值的概率。
在第4章和第5章中,使用了更先进的技术,需要更广泛的背景知识来介绍自由概率理论。首先,基于李理论,在几何框架下对高斯系综特征值联合律进行了重新推导。在这个框架内,导出了Wishart矩阵和各种酉群随机矩阵特征值的联合分布表达式。然后,讨论了自由概率论,这是一种关于某些非对易变量的理论,包括一个称为自由独立的概念。介绍了一些定义,并分析了与随机矩阵的联系。
附录中介绍了一些背景材料,如线性代数的基本结果和定义、拓扑、波兰空间上的概率测度、大偏差理论、四元数的斜场、流形、算子代数和随机分析。每一章都以按时间顺序涵盖给定主题的书目注释结束。

MSC公司:

15-01 关于线性代数的介绍性说明(教科书、教学论文等)
第15页第52页 随机矩阵(代数方面)
15甲18 特征值、奇异值和特征向量
60对20 随机矩阵(概率方面)
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
全文: 内政部