西蒙·福卡特；赖明军 通过（0<q\leqsleat 1）的（ell_q\）-最小化得到欠定线性系统的最稀疏解。 （英语） Zbl 1171.90014号 申请。计算。哈蒙。分析。 26，第3期，395-407（2009）. Simon Foucart和Ming Jun Lai的论文位于应用线性代数、反问题理论和优化理论之间的接口。事实上，许多实际问题或连续问题（积分方程形式）的离散化版本要求线性方程组的近似解，通常“解”未确定。他们的动机可能来自数据挖掘、统计、科学或工程。虽然经典的目标在于解决方案的最高准确性，但问题的经常病态性（或病态性）与解决方案的高度敏感性（或不稳定性、复杂性）及其选择有关；这两个目标构成了一种权衡。由于这些原因，引入正则化（例如，Tikhonov正则化）是为了降低复杂性，从而稳定（正则化）解，基本上，通过使解“小”——在其范数或“微分”解的范数（一阶、二阶减活体等）的意义上——小。例如，本文可以在精确性和稳定性之间权衡的框架中看待，它涉及解决方案的小（或大小）的各种概念，几何概念，特别是具有数字计算或统计意义的概念，与条目（“特征”）消失（稀疏性）有关。因此，本文研究了在误差容限下，未知状态变量的某些范数服从线性方程组或近似不等式约束的约束极小化问题。本研究涵盖了理论、方法和比较示例。本文给出了欠定线性系统矩阵的一个条件，该条件保证了具有最小拟范数的系统的解也是最稀疏的。这推广并略微改进了\（\ell_1\）-范数的类似结果。然后，作者介绍了一种计算具有极小拟范数的解的简单数值格式，并研究了其收敛性。最后，他们显示了一些实验的结果，这些实验表明，\（\ell_q \）-方法比其他可用方法性能更好。本文结构良好，分为五个部分，即介绍、通过（ellq）最小化进行精确恢复、从不完美数据中进行近似恢复、算法描述和数值实验绘制了成功频率与iternations数、成功频率与指数、成功频率和稀疏度的关系图，并对具有任意项的稀疏向量的五种算法进行了比较。也就是说，这些算法是引入的过程，实际上是竞争的，以及正交贪婪算法、正则化正交匹配追踪、（ell_1）-最小化和重加权（ell_1-）-最小化。事实上，如本报告所示，来自金融数学和风险管理、运筹学、自然科学、工程和高科技的各种类型和背景的现实挑战，未来可能会受益于明确、精心编写和证明的贡献及其提出的解决方法。审核人：格哈德·威廉·韦伯（安卡拉）与艾什·伊兹曼和厄尔登 引用于180文件 MSC公司： 90立方 非线性规划 41A27型 近似理论中的逆定理 关键词：线性系统；规范；反问题；最优化；不确定性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Foucart}和\textit{M.-J.Lai}，应用。计算。哈蒙。分析。26，第3号，395--407（2009；Zbl 1171.90014） 全文： 内政部 参考文献： [1] R.Baraniuk，M.Davenport，R.DeVore，M.Wakin，随机矩阵限制等距性的简单证明，Constr。大约，按：；R.Baraniuk，M.Davenport，R.DeVore，M.Wakin，随机矩阵限制等距性的简单证明，Constr。约，印刷中·Zbl 1177.15015号 [2] Candès，E.J.，《受限等距特性及其对压缩传感的影响》，C.R.Acad。科学。Sér。一、 346589-592（2008）·Zbl 1153.94002号 [3] 坎迪斯，E.J。；Romberg，J.K。；Tao，T.，从不完整和不准确的测量中恢复稳定信号，Comm.Pure Appl。数学。，59, 1207-1223 (2006) ·邮编1098.94009 [4] 坎迪斯，E.J。；Tao，T.，线性规划解码，IEEE Trans。通知。理论，51，12，4203-4215（2005）·Zbl 1264.94121号 [5] 坎迪斯，E.J。；Tao，T.，《随机投影的近最优信号恢复：通用编码策略》，IEEE Trans。通知。理论，52，12，5406-5425（2006）·Zbl 1309.94033号 [6] E.J.Candès，M.Watkin，s.Boyd，《通过重加权增强稀疏性》（l_1）；E.J.Candès，M.Watkin，s.Boyd，通过重加权增强稀疏性\（l_1） [7] Chartrand，R.，通过非凸最小化对稀疏信号进行精确重建，IEEE信号处理。莱特。，14, 707-710 (2007) [8] 多诺霍，D.L。；Elad，M.，通过（l^1）最小化在一般（非正交）字典中的最优稀疏表示，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，100，52197-202（2003）·Zbl 1064.94011号 [9] 多诺霍，D.L。；Elad，M。；Temlyakov，V.N.，噪声存在下稀疏超完备表示的稳定恢复，IEEE Trans。通知。理论，52，6-18（2006）·Zbl 1288.94017号 [10] Gribonval，R。；Nielsen，M.，字典中的高度稀疏表示是唯一的，并且独立于稀疏度量Appl。计算。哈蒙。分析。，22, 335-355 (2007) ·Zbl 1133.94011号 [11] Natarajan，B.K.，线性系统的稀疏近似解，SIAM J.Compute。，24, 227-234 (1995) ·Zbl 0827.68054号 [12] D.Needell，R.Vershynin，统一不确定度原理和通过正则化正交匹配追踪恢复信号，Found。计算。数学。，出版中；D.Needell，R.Vershynin，统一不确定度原理和通过正则化正交匹配追踪恢复信号，Found。计算。数学。，出版中·Zbl 1183.68739号 [13] Petukhov，A.，紧小波框架正交贪婪算法的快速实现，信号处理。，86, 471-479 (2006) ·Zbl 1163.94371号 [14] Temlyakov，V.N.，《弱贪婪算法》，高级计算。数学。，12, 213-227 (2000) ·Zbl 0964.65009号 [15] Temlyakov，V.N.，《发现非线性近似方法》。计算。数学。，3, 33-107 (2003) ·Zbl 1039.41012号 [16] Tropp，J.A.，《贪婪是好的：稀疏近似的算法结果》，IEEE Trans。通知。理论，502231-2242（2004）·Zbl 1288.94019号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。