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奇异摄动Neumann问题内峰解的个数。 (英语) Zbl 1170.35424号

摘要:我们考虑以下奇异摄动Neumann问题:
\[\varepsilon^2\Delta u-u+f(u)=0\quad\text{in}\Omega,\quad u>0\quad\text{in}\ Omega,\]
其中,\(Delta=\sum_{i=1}^N\partial^2/\partial x_i^2)是拉普拉斯算子,\(varepsilon>0)是常数,\(Omega)是\(mathbb R^N)中的有界光滑域,其单位向外法线\(nu),\(f)是超线性和次临界的。典型的\(f)是\(f(u)=u^p\),其中\(1<p<+infty\),当\(N=2\)和\(1<p<(N+2)/(N-2)\),时\(N\geq3\)。
我们证明了存在一个\(\varepsilon_0>0\),对于\
\[1\leq K\leq\frac{\alpha_{N,\Omega,f}}{\varepsilon^N(|\ln\varepsilon|)^N},\]
其中,(alpha{N,Omega,f})是一个常数,仅取决于(N),(Omega)和(f),存在一个具有(K)内峰的解。(还给出了\(\alpha_{N,\Omega,f}\)的显式公式。)因此,我们得到,对于足够小的(varepsilon),至少存在([alpha_{N,Omegaf}/varepsillon^N(|ln\varepsilon|)^N]\)个解。此外,对于每一个(m)in(0,N),都存在能量为(varepsilon^{N-m})的解。

MSC公司:

35J65型 线性椭圆方程的非线性边值问题
35B25型 偏微分方程背景下的奇异摄动
35D05型 PDE广义解的存在性(MSC2000)
35D10号 偏微分方程广义解的正则性(MSC2000)
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全文: 内政部

参考文献:

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