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双指数积分公式的函数类。 (英语) Zbl 1162.65014号

双指数(DE)变换(\psi:\mathbb{R}\到I\)已由成功应用H.高桥Mori先生[京都大学数学科学研究所出版9,721-741(1974;Zbl 0293.65011号)]用公式估算积分
\[\int_If(x)dx=\int_{-\infty}^\infty f(\psi(t))\psi'(t)dt约等于t_{N,\psi}(f)=h\sum_{k=-N}^N f(\psi(kh))\psi(kh。\]
DE变换的一个例子是(psi=\psi{DE})是(psi(t)=\sinh((pi/2)\sinh(t)),而(psi{SE}(t)=\sin(t)是单指数(SE)变换。
本文表明,适用于DE公式的被积函数是在区域(mathcal)中解析的{D}_{\psi_{DE}}(d):=\{z=\psi_{DE}(w)|w\in\mathcal{D} (_D)\}\),其中\(\mathcal{D} (_D):=\{z\in\mathbb{C}|\,|Im(z)|<d\}\),这是SE公式已知的事实。
例如,给定一个合适的函数(E(z;\beta)),作者证明了对于(h=N^{-1}\log(8dN/\beta
\[\left|\int_I f(x)dx-T_{N,\psi}(f)\right |=\mathcal{O}\left(\exp\left(-\dfrac{2\pi dN}{\log(8dN/\beta)}\right)\right),\]
其中,\(\psi=\psi_{DE}\)是一个DE变换,\(f\)是在\(\mathcal{D}(D)_\psi(d),(0<d<\pi/2\),和(|f(z)|\leq C|E(z;\beta)|\),(z\in\mathcal{D}(D)_\psi(d)\)。
之前的估计再次确认了DE公式相对于SE公式的优越性。

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65天32分 数值求积和体积公式
41A55型 近似正交
41A25型 收敛速度,近似度
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全文: 内政部

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