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力学和物理中非线性偏微分方程的精确解和不变子空间。 (英语) 兹比尔1153.35001

查普曼和霍尔/CRC应用数学和非线性科学系列。佛罗里达州博卡拉顿:查普曼和霍尔/CRC(ISBN 1-5848-663-3/hbk)。xxx,498页。(2007).
本书致力于构造各种非线性偏微分方程的精确解。为了构造精确解,作者系统地应用了以下方法。对于偏微分方程,我们寻求一个在适当的独立基本函数(f_1(x)、ldots、f_n(x\). 结果,对于系数(C_1(t),\ldots,C_n(t。
另一个相关的思想是在线性子空间(W_n)上构造一个在非线性算子下不不变的不变集。它将初始方程简化为一个超定动力系统。非线性算子的不变子空间和集的思想在书中应用于数学、力学和物理许多领域的各种非线性偏微分方程。
在本书的其余部分中,作者开发了几种技术,用于构造描述各种非线性偏微分方程奇异性行为的精确解。利用精确解,他们描述了与奇点爆破或消光现象、有限界面传播和正则性有关的演化特性,特别注意界面附近弱解的振荡、变号行为。对于几个PDE,这会导致许多数学开放问题,必要时会进行说明。这些结果大多是首次发布的。
这本书可以看作是一本实用指南,它介绍了许多技巧,用于构造任意维(n geq 1)中各种非线性偏微分方程的精确解。本书面向高级研究生水平的学生,除了二阶抛物方程的最大值原理的基础知识(尽管包含了必要的初步信息)和常微分方程理论的一些标准方面外,不假设学生掌握偏微分方程数学理论和泛函分析的基本知识。抛物线、双曲线、KdV型和非线性色散偏微分方程以及离散方程的当前方法将对具有数学背景的读者有用。书中所述分析的几个方面对于研究非线性偏微分方程的研究人员来说是富有成果的。
内容简述:
0简介:非线性偏微分方程和精确解。在这一部分中,介绍了书中所考虑的问题的历史以及发展方法的动机。
1拟线性方程组中的线性不变子空间:基本示例和模型。在本章中,给出了20世纪构造的不变子空间的经典解和最近的解的例子。
2不变子空间和模:一维数学。在本章中,发展了常微分算子不变子空间的数学理论。特别地,建立了保持给定线性子空间的算子的一般表示,并得到了在给定微分阶的非线性算子下线性子空间不变量的维数的精确估计。
三。一维抛物线方程:薄膜、Kuramoto-Sivashinsky和岩浆模型。在本章中,将使用一维各种高阶拟线性抛物偏微分方程的不变子空间。
4奇数阶一维方程:Korteweg-de-Vries、压缩、非线性色散和Harry Dym模型。在本章中,讨论了不变子空间在一维奇阶非线性演化偏微分方程中的应用。利用精确解,建立了偶数阶和奇阶演化偏微分方程类之间的相似性。研究了解的奇异性形成、界面传播和振荡、变号性质。
5一维拟线性波和Boussinesq模型。非线性方程组。本章完成了一维非线性发展方程不变子空间精确解的描述。
6在(mathbb R^n)中对非线性偏微分方程的应用。在本章中,给出了应用于(mathbb R^n),(n>1)中非线性二阶和高阶微分算子的不变子空间方法和结果。
7部分不变子空间、不变集和广义变量分离。在本章中,不变集的思想被应用于几类非线性算子。
8二阶抛物方程的符号变分与精确解。在本章中,我们证明了对于二阶抛物偏微分方程,适当的精确解族可以定义所谓的抛物流的符号变量。作者讨论了相关的向后问题:通过构造符号变量来描述子空间或相应的解集。
9离散算子、移动网格方法和格的不变子空间。在本章中,线性不变子空间和集的基本技术应用于非线性离散算子和方程。建立了一个允许给定有限维不变子空间的p阶非线性差分算子的一般表示。描述了二次一阶算子和一些高阶算子的子空间。这些结果应用于非线性抛物线和双曲线偏微分方程的移动网格方法。最后,给出了作为抛物线、紧子和薄膜偏微分方程离散对应项的晶格动力学系统的精确解的例子。特别地,讨论了非调和格上的周期呼吸子和高阶抛物方程的振荡、变号行为。

MSC公司:

35-01 关于偏微分方程的介绍性说明(教科书、教程论文等)
35A21型 PDE背景下的奇点
35G20个 非线性高阶偏微分方程
35K55型 非线性抛物方程
35K57型 反应扩散方程
35K90型 抽象抛物方程
35升70 二阶非线性双曲方程
35季度30 Navier-Stokes方程
51年第35季度 孤子方程
第35季度53 KdV方程(Korteweg-de-Vries方程)
37千卡60 晶格动力学;可积晶格方程
39A70型 差分运算符
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