格罗斯曼，品哈斯;沃恩·F·R·琼斯。 没有额外结构的中间子因子。 （英语） Zbl 1131.46041号 美国数学杂志。Soc公司。 20，第1期，219-265（2007）。 设（N\子集M\）是II（_{1}）von Neumann因子，指数为（[M:N]<infty）[参见五、。F、。R。琼斯，发明。数学。72, 1–25 (1983;Zbl 0508.46040号)]. 我们几乎始终假设（N）是不可约的，即相对交换子（N'\cap M=\mathbb{C}）。这个标准不变量属于五、。F、。R。琼斯[位置。cit.]是多矩阵代数的某个二重序列（矩阵代数的直和）；他使用从（M）开始的（M_1}）的基本结构来构建（M_0}=M）上的多矩阵代数（M_{k}）以及相应的投影序列（{e_{k}}）。将其扩展到冯·诺依曼因子，基本构造从（M）和（e_{1}）生成冯·诺伊曼因子。这个（e_{1}）是一个投影，对于由迹作为内积给出的希尔伯特空间结构，它的限制是（M）对（N）的条件期望。随后的投影是通过重复基本构造来构建因子塔（M_{k}）来构建的。相对交换子（N'\cap M_{k-1}）下面的向量空间用（P_{k}）表示。有关详细信息，请参阅[五、。F、。R。琼斯，J.Funct。分析。122号。1, 84–90 (1994;Zbl 0821.46076号)]和[F、。M。古德曼，P。德拉哈普和五、。F、。R。琼斯，“Coxeter图和代数塔”（MSRI Publ。14、纽约等地：施普林格-弗拉格）（1989年；兹比尔0698.46050)].D。Bisch公司[太平洋。J。数学。163号。2, 201–216 (1994;Zbl 0814.46053号)]给出了标准不变量在相对交换项方面的抽象表征。有相对交换子的双塔，一个是（N'cap M_{i}}），另一个是。标准不变量足以表征某些超有限II（{1}）因子的子因子结构[参见秒。波帕，发明。数学。120号。3, 427–445 (1995;Zbl 0831.46069号)]. 所有II（{1}）因子与von Neumann代数同构，但子因子结构可以变化。对于一般II（{1}）因子，需要进一步的不变量。中间子因子的形式为（N\subset P\subset M），可以使用条件期望来描述包含。中间因子提供了额外的对称性。不变量可以通过考虑夹杂物的晶格结构（可追溯到约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）的I型因子晶格结构及其连续几何结构）或通过使用答：。奥克涅努用副群方法研究交叉乘积的概念；参见[Lond。数学。Soc公司。莱克特。注释136、119-172（1987；Zbl 0696.46048号)]，其中中间子因子可视为有限群的量化。秒。波帕的\（\lambda\）-晶格[loc。引文]将标准不变量公理化。一对（[M，N]\）被称为没有额外的结构，这意味着建造了一座塔，其中在\（M\）和\（N\）之间没有中间子因子。当（[M:N]<4）且没有额外结构时，在多矩阵代数塔中获得的代数称为Temperley–Lieb代数（其维数为加泰罗尼亚数），通过归纳得出II（{1}）Jones–Temperley-Lieb因子。（{e_{i}}）用一个参数（[M:N]^{-1}）[cf。H。五、。N。坦普利和E。H。留置权，程序。R。Soc公司。伦敦。，序列号。A 322251-280（1971年；Zbl 0211.56703号)]; 这些用于定义统计力学中的可解模型，在模糊意义上可解，即可以合理地确定配分函数的渐近增长率&例如自旋模型，比如冰型（含氢键的氧原子），其中状态是从顶点到有限自旋集的函数，能量是以键表示的。统计力学中的顶点模型具有作为自旋集的边的函数的状态，并且能量与顶点相关联。量子群产生了顶点模型。当只有一个中间因素时，为了提供额外的对称性，D。Bisch公司和五、。F、。R。琼斯[发明。数学。128号。1，89–157（1997年；Zbl 0891.46035号)]当存在一系列中间因素时，Z.公司。朗道[太平洋。J。数学。197号。2, 325–367 (2001;Zbl 1055.46511号)]用正整数表示的颜色构造了所谓的Fuss–加泰罗尼亚子因子。对于\（n=1\），代数是Temperley–Lieb并且是无色的；看见N。一、。保险丝[“Solutio quaestionis，quot modis polygonum（n）laterum in polygona\（m）laterum\（n）per-dighboles resolui quaeat”，《新科学学报》第9期，243–251（1791）]，他通过非交叉对角线计算凸多边形的分区数，将（n）-gons转换为（m）-gones，以及E。G.公司。加泰罗尼亚语[J.Reine Angew。数学。27, 192 (1844;埃拉姆027.0790cj)]他做了一个更简单的计算，把数分成三角形。图形方法是使用顶点对应于多矩阵代数的图，并构造Bratteli图[O。布拉特利，事务处理。是。数学。Soc公司。171, 195–234 (1972;Zbl 0264.46057号)]这是一种描述夹杂物的图形方式。布拉特利图记录了最大投影的简单组成部分中最小投影的等级。在某些情况下，将连续的Bratelli图叠加在一起会导致II因子作为有限维图的归纳极限（例如，Jones–Tempeley–Lieb）。主图是由A。奥克涅努。前一个子因子包含的镜像始终是下一个包含的一部分，通过丢弃图中的反射，可以获得主图，这提供了相同的信息。如果\（[M:N]<4\），则主图必须是不可分解的仿射A、D或E Coxeter图[参见F、。M。P.古德曼。德拉哈普和五、。F、。R。琼斯，位置。引文]。的平面代数五、。F、。R。琼斯[英寸：1998年希腊结，世界科学服务。Knots Everything 24，94-117（2000；Zbl 1021.46047号)]是由（P_{k}）生成的向量空间上的代数，并导致子因子结构的一种更全面的不变量。它们给出了标准不变量的代数组合解释，可以被认为是Popa的\（\lambda\）-格结构的几何拓扑公理化。代数可以用图形表示为纠缠操作上的代数。它构成了一个关键类别[参见，例如。，秒。阿布拉姆斯基，in：《量子计算与量子技术的数学》，CRC应用数学与非线性科学系列14，515–558（2008；Zbl 1135.81006号)]. 代数用图形表示，就像平面上的多色圆盘和子圆盘一样，用字符串在圆盘上切割偶数个点，当然还有合成操作。平面表示字符串不交叉。从平面代数的观点来看，中间因子包含的最简单结构是Fuss–Catalan代数。子因子的四边形由（N子集P子集M）、（N子集Q子集M）组成，其中，（M）由（P，Q）和（N=P\cap Q）生成，并假定其不可约。如果（P）和（Q）的条件期望值相乘，则四边形称为交换平方。四边形可以看作是一个对偶对象，在乘法运算下，它是一个交换正方形。如果这些因子的交换子形成一个交换正方形，则四边形被称为共交换四边形，从而可以将其视为交换正方形的对偶对象。英国。古斯塔夫森[公牛。是。数学。Soc公司。74, 488–492 (1968;Zbl 0172.40702号)]处理Hilbert空间上的正非交换自伴算子，将算子的角度定义为算子可以旋转任何单位向量的角度的最小上界。T。萨诺和年。绵谷【ICM卫星会议记录，奈良，1990，72-82（1991；Zbl 0821.46079号)]考虑了希尔伯特空间的四个子空间的相对位置。第页。R。哈尔莫斯，事务处理。是。数学。Soc公司。144, 381–389 (1969;Zbl 0187.05503号)]. 他们使用古斯塔夫森的想法将M的两个子因子之间的顶点角度定义为顶点角度算子的谱。三角函数是用条件期望来表示的。四边形是一个交换正方形，当且仅当角都是直角时。Hilbert空间中两个子空间之间的角度算子可以有\（（0，{pi\ over 2}]\）的任何闭子集作为谱。一个主要问题是量化中间子因子的角度运算符，即它们在区间\（（0，{pi\ over 2}]\）中取一组可数的离散值。本文的主要定理是量化的初步尝试。设\（G\）是一个Coxeter群。对于有限的冯·诺依曼因子（A{0}\子集A{1}\），我们在（A{0}\）上构造了一个塔，其中（B_{i}\）是由琼斯投影生成的（A{i}）的子代数。让\（r）表示Bratteli图的选定顶点。子因子\（rB\子集rAr\）称为\（G\）的GHJ子因子。在有两种颜色的意义上，这些图是二分图；黑色（奇数）和白色（偶数）顶点交替出现，没有边将黑与白（种族隔离？）或白与白连接起来。在他们的主要定理中，作者考虑了两个Coxeter群的GHQ子因子，对称群\（S_｛3｝\）和具有选定顶点（三价顶点）的群\（D_｛5｝\），入射到三条边。对于他们的主要定理，他们假设没有额外的结构，并将角度算子取有限个可确定值的三种情况进行了分类。当\（[M:N]=6\）时，\（N\）是\（M\）上\（S_{3}\）外作用的不动点代数，角度为\（pi\超过3\）。当（[M:N]=6+4\sqrt{2}）时，四边形可以与与Coxeter群（D_{5}）相关联的GHQ子因子相关联；这里，角度是\（\arccos（\sqrt{2}-1\）。否则，对（P）和（Q）的期望值是可交换的，四边形是可交换平方，因此既可交换又可互交换。审核人：奥布里·沃尔夫松（考文垂） 引用于24文件 MSC公司： 46层37 子因素及其分类 关键词：冯·诺依曼II（_1）因子;中间子因子;指数;标准不变量;整流广场;四边形的;角度运算符;Bratelli图;平面代数;考克斯特群;考克塞特图;Coxeter-Dynkin图 引文：Zbl 0508.46040号;Zbl 0698.46050号;Zbl 0814.46053号;Zbl 0821.46076号;Zbl 0831.46069号;Zbl 0211.56703号;Zbl 0891.46035号;兹比尔1055.46511;Zbl 0264.46057号;Zbl 0172.40702号;Zbl 0821.46079号;Zbl 0187.05503号;兹比尔1021.46047;Zbl 0696.46048号;Zbl 1135.81006号;埃拉姆027.0790cj PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Grossman}和\textit{V.F.R.Jones}，J.Am.数学。Soc.20，No.1，219--265（2007；Zbl 1131.46041） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 琼·S·伯曼（Joan S.Birman），《辫子、链接和绘图课堂小组》，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。；东京大学出版社，东京，1974年。数学研究年鉴，第82期·Zbl 0297.57001号 [2] Dietmar Bisch，关于中间子因子的注释，太平洋数学杂志。163（1994），第2期，201–216·Zbl 0814.46053号 [3] Dietmar Bisch，双模，高相对交换子和与子因子相关的融合代数，算子代数及其应用（滑铁卢，ON，1994/1995），Fields Inst.Commun。，第13卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1997年，第13-63页·Zbl 0894.46046号 [4] Dietmar Bisch和Vaughan Jones，与中间子因子相关的代数，发明。数学。128（1997），第1期，89–157·Zbl 0891.46035号 ·doi:10.1007/s002220050137 [5] Dietmar Bisch和Vaughan Jones，关于子因子自由组合的注释，几何学和物理学（奥胡斯，1995），《纯粹和应用讲义》。数学。，第184卷，德克尔，纽约，1997年，第339–361页·Zbl 0968.46045号 [6] Dietmar Bisch和Vaughan Jones，小维单生成平面代数，杜克数学。J.101（2000），第1期，第41–75页·Zbl 1075.46053号 ·网址：10.1215/S0012-7094-00-10112-3 [7] Dietmar Bisch和Vaughan Jones，单生成的小维平面代数。II、 高级数学。175（2003），第2期，297–318·Zbl 1041.46048号 ·doi:10.1016/S0001-8708（02）00060-9 [8] Ola Bratteli，有限维归纳极限*-代数，Trans。阿默尔。数学。Soc.171（1972），195–234·Zbl 0264.46057号 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