李仁昌 三对角Toeplitz线性系统上CG和GMRES的收敛性。 （英文） Zbl 1129.65020号 比特币 47，第3期，577-599（2007）. 当共轭梯度（CG）或广义最小残差（GMRES）迭代方法应用于三对角正规（或厄米特正定）Toeplitz系统（Ax=b\）的解时，对于向量的某些特殊选择，构造了残差向量的误差界，有时还构造了残值向量的精确界。所使用的方法取决于这样一个事实，即剩余范数的界，因此可以从以下公式中获得有关该方法收敛性的信息\[\varepsilon_k=\min\{|\text{diag}（g）V_{k+1，N}^Tu\|2/\|g\|2\}。\]最小值取第一分量为1的所有向量（u），（g）是取决于方法的向量，（V{k+1，N}）是节点为（a）特征值的Vandermonde矩阵。在三对角Toeplitz情形下，特征值可以用第二类切比雪夫多项式的零点来表示。根据这些Chebyshev节点和三个Toeplitz参数给出了\（\varepsilon_k \）的所有显式表达式。特定右侧的结果可用于获得一般（b）的估计值。审核人：阿德玛·布列特尔（鲁汶） 引用于2评论引用于5文件 MSC公司： 65层10 线性系统的迭代数值方法 65层50 稀疏矩阵的计算方法 关键词：共轭梯度法;分钟;Krylov子空间方法;范德蒙德矩阵;切比雪夫多项式;广义最小残差迭代法;汇聚;三对角正规Toeplitz系统;厄米特正定Toeplitz系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.-C.Li}，BIT 47，编号3，577--599（2007；Zbl 1129.65020） 全文： 内政部 参考文献： [1] M.Abramowitz和I.A.Stegun（编辑），《公式、图形和数学表数学函数手册》，第9版。，多佛出版公司，纽约，1970年。 [2] B.Beckermann和A.B.J.Kuijlaars，特殊右手边的超线性CG收敛，电子。事务处理。数字。分析。，14（2002），第1-19页·Zbl 1024.65102号 [3] P.Borwein和T.Erdélyi，《多项式和多项式不等式》，《数学研究生教材》，第161卷，施普林格出版社，纽约，1995年·Zbl 0840.26002号 [4] J.Demmel，《应用数值线性代数》，SIAM，费城，1997年·Zbl 0879.65017号 [5] O.G.Ernst，对流扩散方程稳定离散化的残差最小化Krylov子空间方法，SIAM J.矩阵分析。申请。，21（2000），第1079–1101页·Zbl 0961.65098号 ·doi:10.1137/S0895479897325761 [6] V.N.Faddeeva，线性代数的计算方法，多佛出版社，纽约，1959年。（柯蒂斯·D·本斯特译自俄语）·Zbl 0086.10802号 [7] I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik，积分、级数和乘积表，学术出版社，纽约，1980年。（由A.Jeffrey编写的修订版和放大版，合并了Y.V.Geronimus和M.Y.Tseytlin编写的第四版，由Scripta Technica，Inc.从俄语翻译而来）·Zbl 0521.33001号 [8] A.Greenbaum，求解线性系统的迭代方法，SIAM，费城，1997年·Zbl 0883.65022号 [9] M.R.Hestenes和E.Stiefel，求解线性系统的共轭梯度方法，J.Res.Nat.Bur。《标准》，49（1952），第409-436页·Zbl 0048.09901号 [10] I.C.F.Ipsen，《GMRES残差的表达式和界限》，BIT，40（2000），第524-535页·Zbl 0962.65030号 ·doi:10.1023/A:1022371814205 [11] S.Kaniel，线性代数中一些计算技术的估计，数学。计算。，20（1966年），第369-378页·Zbl 0156.16202号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1966-0234618-4 [12] 李荣川，共轭梯度法的困难情形，国际期刊信息系统。科学。（出现）·Zbl 1156.65031号 [13] R.-C.Li，关于梅纳德斯共轭梯度法的例子，数学。计算。（出现）·Zbl 1128.65027号 [14] R.-C.Li，CG和对称Lanczos方法收敛速度的敏锐性，2005-01技术报告，肯塔基大学数学系，2005年。可用时间：http://www.ms.uky.edu/ath/MAreport/。 [15] 李荣川，带切比雪夫节点的范德蒙德矩阵，线性代数应用。，出现·Zbl 1140.65025号 [16] 李R.-C.和张W.，三对角Toeplitz线性系统上GMRES的收敛速度，提交·Zbl 1162.65016号 [17] J.Liesen、M.Rozlozník和Z.Strakoš，最小二乘残差和最小残差方法，SIAM J.Sci。计算。，23（2002），第1503-1525页·Zbl 1012.65037号 ·doi:10.1137/S1064827500377988 [18] J.Liesen和Z.Strakoš，三对角Toeplitz矩阵的GMRES收敛性，SIAM J.矩阵分析。申请。，26（2004），第233-251页·Zbl 1079.65031号 ·doi:10.1137/S089547979803424967 [19] J.Liesen和P.Tich，《正态矩阵的最坏情况GMRES》，BIT，44（2004），第79-98页·兹比尔1053.65021 ·doi:10.1023/B:BITN.000025083.59864.bd [20] J.Liesen和P.Tichí，关于对称正定三对角Toeplitz矩阵的MR和CG的最坏情况收敛性，Electron。事务处理。数字。分析。，20（2005），第180–197页·Zbl 1119.65320号 [21] G.Meinardus，UE ber eine Verallgemeinerung einer Ungleichung von L.V.Kantorowitsch，Numer（数字）。数学。，5（1963），第14-23页·Zbl 0114.32001号 ·doi:10.1007/BF01385875 [22] A.E.Naiman，I.M.Babuška和H.C.Elman，关于共轭梯度收敛的注记，Numer。数学。，76（1997），第209-230页·Zbl 0905.65047号 ·doi:10.1007/s002110050260 [23] A.E.Naiman和S.Engelberg，共轭梯度收敛的注记——第二部分，第三部分，数值。数学。，85（2000），第665-683、685-696页·Zbl 1013.65028号 ·doi:10.1007/PL00005396 [24] C.C.Paige和M.A.Saunders，稀疏线性方程组的解，SIAM J.Numer。分析。，12（1975年），第617-629页·Zbl 0319.65025号 ·数字对象标识代码：10.1137/0712047 [25] Y.Saad，稀疏线性系统的迭代方法，第2版。，SIAM，费城，2003年·Zbl 1031.65046号 [26] Y.Saad和M.Schultz，GMRES:求解非对称线性系统的广义最小残差算法，SIAM J.Sci。统计计算。，7（1986），第856–869页·Zbl 0599.65018号 ·doi:10.1137/0907058 [27] G.D.Smith，偏微分方程的数值解，第2版。，克拉伦登出版社，英国牛津，1978年·Zbl 0389.65040号 [28] L.N.Trefethen和D.Bau，III，《数值线性代数》，SIAM，费城，1997年。 [29] I.Zavorin、D.P.O'Leary和H.Elman，《GMRES的完全停滞》，线性代数应用。，367（2003），第165-183页·Zbl 1025.65022号 ·doi:10.1016/S0024-3795（02）00612-2 [30] K.Zhou、J.C.Doyle和K.Glover，鲁棒最优控制，普伦蒂斯·霍尔，新泽西州上鞍河，1995年·Zbl 0999.49500 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。