×
穆罕默德·埃尔卡迪;伯纳德·穆兰

多项式系统解的介绍。（引言a résolution des systèmes polynomiaux） （法语） Zbl 1127.13001号

数学与应用（柏林）59.柏林：施普林格出版社（ISBN 978-3-540-71646-4/pbk）。305页。(2007).
线性方程组的解在应用数学和纯数学的不同领域中发挥着重要作用。有相当令人满意的方法可以通过数值方法和理论见解来解决这些问题。最近，人们在解决应用科学问题和理论方面（例如分子建模、机器人学、计算机视觉、算法几何等）出现的几个变量的多项式方程方面做出了巨大努力。
处理它们的一个重大突破是发现了Gröbner基，并在计算机代数系统的几个包中实现了它们的算法。除了这个通用工具之外，人们还对用其他方法（如结果、伴随矩阵的特征向量等）求解和理解多项式方程组产生了永久的兴趣。
正在审查的这本书是由数学应用与工业协会（SMAI）编辑的数学与应用系列第59卷，它致力于从各个方面系统研究多项式方程的解。本系列的一般目的是向工程师和应用科学家介绍理论概念及其应用的各个方面。
本卷的内容向潜在读者介绍了交换代数、代数几何和分析方法。对于读者来说，这需要对材料有一些很好的了解，或者至少需要仔细研究其理论方面的能力。这本书的材料分为10章。前三章题为“方程、理想、簇”、“商代数中的计算”和“代数簇的维数和次数”，简要介绍了多项式方程组、它们的零点集、射影簇、主分解、维数理论、次数的概念、，以及介绍计算交换代数和代数几何的算法基础，即Gröbner基。这些主题以不同的方式呈现出整本书的内容。这里涵盖了其中的四分之一。因此，这个总结相当粗略，需要从文本中给出的各种参考文献中获得一些额外信息。有一些小差距。例如，3.22中给出的Noether规范化定理的证明仅适用于无限基本场。
接下来的三章，题为“零维代数”、“结式理论”和“结式的应用”，致力于通过理想研究多项式环在一个或多个变量中的零维商。在第一部分中，通过确定零集（V（I），它们的重数等，深入研究了零维代数（K[\underline{x}]I，K\）域和（I\子集K[\enderline{x}]\）理想。此外，介绍了一个和多个变量的结果，以及射影空间和复曲面的结果。最后还有一章是关于结果的应用，其中包括两条平面曲线的相交和蕴涵定理。
第7章“对偶性”和第8章“Gorenstein代数”涵盖了逆系统的理论以及由多项式环的对偶性对其进行的显式描述，该对偶性始于[F.S.麦考利《模块系统的代数理论》（1916；JFM 46.0167.01号文件)]. 作为Gorenstein代数的主要样本，研究了完全交代数。最后两章“代数留数”和“留数微积分与应用”简要介绍了留数，并着眼于其计算方面。
每一章都由一系列练习完成。他们在不同的方向上完成并扩展了本章的示例。其中一些问题很容易解决。其他需要额外阅读。有时它们超出了本书的范围。例如，练习3.10涉及同调代数的“蛇引理”的证明。这本书总共描述了伪代码中的30种计算代数算法。
如何使用这本书？首先，它为那些想学习多项式方程组求解的一些原理的人提供了一个学习该主题的指南，并提示了如何理解基本算法。另一方面，人们可能会把这本书作为代数几何或计算问题的代数的某门课程的补充。本书的主题包括计算数学的高级主题，如有效Nullstellensatz、Lojasiewicz指数的估计、多项式映射的反演以及教科书中尚未提供的其他主题。
对于初学者来说，准备一些教科书的基础知识可能会很有帮助，比如[D.Cox、J.Little、D.O'Shea，理想、变种和算法。计算代数几何和交换代数导论。第三版，本科生数学课文。（2007年；Zbl 1118.13001号)]. 在任何情况下，从业者都可以使用它来熟悉应用领域中“纯数学”部分的力量。
审核人：彼得·申泽尔（哈雷）

引用于2评论
引用于34文件

MSC公司：

13-01 关于交换代数的介绍性说明（教科书、教程论文等）
13页第10页 Gröbner碱；理想和模块的其他基础（例如Janet和border基础）
第14季度20 代数几何的有效性、复杂性和计算方面
2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算
08-01 关于一般代数系统的介绍性说明（教科书、教程论文等）
14-01 与代数几何有关的介绍性说明（教科书、教程论文等）
68-01 与计算机科学相关的介绍性说明（教科书、教程论文等）

关键词：

多项式理想;多项式环;Gröbner基地;多项式理想的解;多项式根;结果;残留物;代数簇

引文：

Zbl 1118.13001号;JFM 46.0167.01号文件

软件：

麦考利2;单一;隔离
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Elkadi}和\textit{B.Mourrain}，《多项式系统解决方案简介》。柏林：施普林格出版社（2007；Zbl 1127.13001）
全文： 内政部