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([0,1]\)上的\(x^\alpha\)的最佳一致有理逼近。 (英语) Zbl 1077.41012号

作者证明了任意实数(alpha>0)在([0,1]\)上的一致有理逼近的一个强误差估计:如果(E_{nn}(x^alpha,[0,1])表示有理函数的一致范数中的最小逼近误差,且分子和分母的阶数最多为\(n\),则证明了\[\lim_{n\to\infty}e^{2\pi\sqrt{\alpha-n}}e_{nn}(x^\alpha,[0,1])=4^{1+\alpha}|\sin\pi\alpha|\]对于每个\(\alpha>0\)。
本演示总结了由发起的一系列数学贡献D.J.纽曼[“有理逼近(|x|\)”,《密歇根数学杂志》11,11-14(1964;Zbl 0138.04402号)],他第一个证明了在([-1,1]\)上对\(|x|\)的一致有理最佳逼近比一致多项式最佳逼近具有渐近更快的衰减误差(注意\(E_{nn}(x^\alpha,[0,1])=E_{2n,2n}(|x^{2\alpha},[-1,1]))。本系列的一个亮点是作者证明了在([-1,1]\)上的一致有理最佳逼近的强渐近误差估计,这是这里讨论的结果的特例((alpha=1/2\)[“在([-1,1]\)的一致最佳有理逼近”,Russ.Acad。科学。,数学学士。76,第2期,461-487(1993年;Zbl 0785.41019号);翻译自Mat.Sb.183,No.8,85–118(1992)]。
上述强误差估计的右侧的具体形式首先由以下公式推测R.S.瓦尔加A.J.卡彭特[“关于([0,1]\)上\(x^\alpha\)的最佳一致逼近的一些数值结果”,Numer。算法2171–185(1992;兹比尔0763.41025)]并由作者独立发现[“([0,1]\)上\(x^\alpha\)的最佳一致有理逼近”,Bull。美国数学。Soc.(新Ser.)28、116–122(1993年;Zbl 0768.41015号)]。值得注意的是,在[-1,1]上一致多项式最佳逼近的情况下,相应的极限仍然未知:R.S.瓦尔加A.J.卡彭特[“关于近似理论中的Bernstein猜想”,构造近似1333-348(1985;Zbl 0648.41013号)]通过高精度的数值计算,推翻了S.Bernstein关于这个极限的猜想。
一致有理最佳逼近的强误差估计的证明令人印象深刻地结合了切比雪夫交替点定理等逼近理论的方法、逼近误差的显式积分表示和势理论方法,特别是将某些函数表示为关于适当措施的格林势。

MSC公司:

41A20型 有理函数逼近
41A21号机组 帕德近似
41A25型 收敛速度,近似度
41A44型 近似理论中的最佳常数
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