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希尔伯特空间中的分数布朗运动和随机方程。 (英语) Zbl 1040.60054号

作者研究了希尔伯特空间中的随机微分方程,该方程由开区间((1/2,1))中带Hurst参数的标准圆柱形分数布朗运动驱动。它们验证了温和解的存在唯一性、样本路径的连续性、解的状态空间正则性和极限测度的存在性。此外,还证明了在不同时间和不同初始条件下计算解所产生的概率定律的等价性,以及这些概率定律收敛到极限概率的情况。结果应用于具体的随机抛物型和双曲型微分方程。文章结构如下。在介绍之后,作者在第2节中定义了关于标准分数布朗运动的随机积分和作为确定性算子值函数的被积函数。在第3节中,考虑了希尔伯特空间中的线性随机微分方程,该方程具有驱动标准的圆柱形分数布朗运动。利用半群方法证明了温和解的存在唯一性。在可积条件和多数条件的假设下,给出了样本路径的连续性和解的空间正则性。此外,还给出了随机抛物方程和随机波动方程等满足各种结果假设的具体例子。在第4节中,给出了概率测度族的相互绝对连续性的条件,这些概率测度族是通过在某些固定时间用一些固定的初始条件评估解而产生的。此外,相同的条件足以使这些概率测度收敛到强(全变差)范数中的极限测度。讨论了一个满足结果条件的随机抛物方程的例子。在第5节中,考虑了一个更具体的抛物方程模型,其中分数布朗运动仅发生在边界条件中。验证了随机方程的存在性和唯一性,并给出了第三节结果的一些类似结果。值得注意的是,本文中关于随机偏微分方程或Hilbert空间中随机微分方程的许多结果,如果Hurst参数被形式化地估计为(1/2),尽管证明方法不同,则可简化为标准Wiener过程的已知结果。

MSC公司:

60甲15 随机偏微分方程(随机分析方面)
60G15年 高斯过程
2005年6月60日 随机积分
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全文: 内政部

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