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阿尔科斯·塞莱斯

置换组算法。 （英语） Zbl 1028.20002号

剑桥数学丛书. 152. 剑桥：剑桥大学出版社。ix，264页（2003年）。
这本专著全面概述了置换群计算的当前知识。
以前的书范围明显较小。除了他们代表了15年或更长时间前快速发展的子学科的最新水平之外，他们还从纯粹的理论角度考虑了这个主题，例如C.M.霍夫曼【群理论算法与图同构。Springer（1982；Zbl 0487.68055号)]或实际视图，如G.巴特勒【置换群的基本算法。Springer（1991；Zbl 0785.20001号)].
相比之下，本书中的算法结合了理论和实践两个方面，实现了互惠互利，作者的工作极大地促进了这一发展。
所涵盖的许多材料以前从未以书籍的形式出现过；有些甚至从未正式出版，只是以讲稿和手稿的形式存在。
算法通常不仅以原始形式给出，还添加了实现备注。许多方法也已在计算机代数系统中实现间隙和岩浆这本书对这些系统的许多基础数学进行了描述。
第1章介绍了用于置换群和算法分析的符号和术语。
第2章研究了黑盒群（即只考虑组成群的基本运算，而不考虑元素的实际类型）；特别是它检查随机元素（参见F.塞勒等【公共代数23，No.13，4931-4948（1995；Zbl 0836.20094)])和随机子产品（请参见L.Babai先生等[SIAM J.Compute.26，No.5，1310-1342（1997；Zbl 0885.68090号)]).
第3章简要概述了一组中已知在多项式时间内可行的计算（参见W·M·坎特和E.M.Luks公司【Proc.22nd ACM Symposium Theory Computing，1990，524-534（1993）】），置换群的“近似线性时间”算法（其研究将在后面的章节中充实），以及目前只能通过回溯解决的问题（参见B.D.麦凯[国会数字30，45-87（1981；Zbl 0521.05061号)]和J.S.莱昂[J.Symb.计算12，第4/5号，533-583（1991；Zbl 0807.20001号)]). 它为那些只对复杂性类问题感兴趣而不想研究具体算法的读者提供了一个很好的概述。
本书的核心主题从第4章开始，该章描述了Schreier-Sims算法的思想和数据结构C.C.西姆斯[计算问题抽象代数，牛津大学学报1967，169-183（1970；Zbl 0215.0002号)]以及可以用于降低蒙特卡洛设置中的复杂性的随机化方法。
第5章研究了直接建立在稳定链上的算法：点稳定器、置换群之间的同态、仅用基图像描述元素的可能性（从而减少存储需求）、基变换和不纯正块。
第6章描述了一整套使用稳定链数据结构的高效算法。基于对称群中正规闭包求交和中心化子的算法，给出了正规子群中心化子和次正规子群核的方法。这些反过来导致了合成级数和主级数的算法，该算法首先简化为原始作用的情况，然后使用O'Nan-Scott定理（最初由L.L.斯科特[有限群，Santa Cruz Conf.1979，Proc.Symp.Pure Math.37，319-331（1980；Zbl 0458.20039号)]，完整版本由M.W.利贝克等人[J.Aust.Math.Soc.，Ser.A 44，No.3，389-396（1988；Zbl 0647.20005号)])减少异常因素。另一个产品是可解根和（p）-核的算法，它们也产生因子组的小角度置换表示。总的来说，这组算法是最近针对更复杂结构（如子组）的算法的基础(J.J.坎农等人[J.Symb.Compute.31，No.1-2，149-161（2001；Zbl 0984.20002号)])或魔法课(A.赫尔普克[数学计算69，第232号，1633-1651（2000；Zbl 0962.20001号)]); 在第9章的末尾给出了这些算法的概要。
第7章介绍了一种特殊方法，因为C.C.西姆斯[J.Symb.计算9，第5/6号，699-705（1990；Zbl 0701.20001号)]用于计算可解置换群中的稳定链，以及多环生成系统。此类发电机组（参见R.劳厄等【计算群论，《交响乐汇编》，达勒姆/英国，1982年，105-135（1984年；Zbl 0547.20012号)])是可解群的许多有效算法的基础，这些算法通过将主因子归纳为有限域上的线性代数来减少问题。作为示例，Sylow子群的一种方法（P.Morje先生[小组与计算研讨会，1995年6月7日至10日，美国新泽西州新不伦瑞克。普罗维登斯，RI:美国数学学会。DIMACS，Ser.离散数学理论。计算科学28，257-272（1997；Zbl 0878.20005号)])对于可解群和共轭类（如下M.Mecky先生和J.Neubüser公司[《澳大利亚数学学会公牛》第40卷第2期，第281-292页（1989年；Zbl 0683.20001号)])给出了。
验证概率计算稳定链的问题（从而使概率算法以重复失败计算为代价保证正确的结果）是第8章的主题。的Schreier-Todd-Coxeter-Sims算法J.S.莱昂[数学计算.35，941-974（1980；Zbl 0444.20001号)]和强生成测试C.C.西姆斯[之前未发表]。虽然这些测试没有随机稳定链计算的近线性时间复杂性，但这可以通过以下算法解决W.M.坎特和Á. 谢赖什[1997年7月26日至8月9日，英国巴斯，国际会议论文集。第2卷。剑桥：剑桥大学出版社。伦敦。数学。Soc.Lect（社会学）。注释序列号。261, 436-446 (1999;Zbl 0932.20006号)].
一旦所有类别的简单组都知道了“简短”陈述（即顺序中的多对数）（评审员备注：在撰写本文时，除了Ree组外，所有简单组都了解这一点），这些组就可以得到建设性的认可（例如，请参阅评审文章C.R.利德姆-格林[群与计算III。Walter de Gruyter。俄亥俄州立大学数学研究所。出版8229-247（2001；Zbl 1052.20034号)])用一种有效的方法，可以先计算合成级数，然后验证合成因子的正确性。该算法的一个变体用于生成置换组的表示，如J.J.加农[离散数学.5，105-129（1973；Zbl 0272.20030号)]和V.格巴德[J.Algebra 233，No.2，526-542（2000；Zbl 1007.20033号)].
第9章讨论了用于计算置换群中的中心化子、正规化子和共轭检验的回溯算法。描述的传统方法G.巴特勒[J.算法4163-175（1983；Zbl 0552.20004号)]以及McKay和Leon的分区回溯。虽然并没有完全详细地讨论共轭问题，但分区回溯的描述是该审阅者迄今为止遇到的最容易理解的描述。
第10章最后讨论了大型基团。这些基本上是对称或交替群的环积，处理此类群的一种方法是根据元素的循环结构识别对称/交替群，如E.T.帕克和P.J.尼古拉【数学表辅助计算12，38-43（1958）】和J.H.达文波特和G.C.史密斯【《纯粹应用代数杂志》153，第1期，17-25（2000；Zbl 0960.11053号)]. 作者最近关于建设性承认此类群体的工作的描述【Trans.Am.Math.Soc.355，No.5，2097-2113（2003；Zbl 1022.20004号)]如下所示。
这本书以大约150条有用的参考书目结束。
每一章都有练习，从简单到要求不等，那些参考研究论文的练习可能更好地作为论文的扩展参考，而不是学生的博纳式练习。
虽然这本书不需要标准代数课程以外的先决条件，但它显然是一本研究专著，可能不是一本交给刚开始学习的研究生自学的书。
这在一定程度上是由于这样一个事实，即置换群算法上的非平凡示例很快就达到了一个大小，使得它们对于打印介质不可行。
想要了解算法的读者可能想保留一张纸（或一个系统，如间隙)在一个明确的例子中遵循理论描述。
一些概念或子群的部分格的图解可能有助于理解。对于从纯粹实用的角度对置换计算感兴趣的人来说，这两种算法可能是最有趣的，即稳定链和分区回溯。
然而，这几个迫切需要的人无法掩盖这样一个事实：这是一本拥有大量信息的书，首次以书的形式收集了大部分计算群论。
对于那些对置换群、计算群论或涉及对称性的更广泛计算领域感兴趣的人来说，这本书将是一个无价的工具，值得在这些领域的任何研究人员的书架上占有一席之地。
审核人：亚历山大·赫尔普克（柯林斯堡）

引用于1审查
引用于137文件

MSC公司：

20B40码 计算方法（排列组）（MSC2010）
20-04 群论相关问题的软件、源代码等
20-02 与群论有关的研究综述（专著、调查文章）
68瓦30 符号计算和代数计算
68瓦40 算法分析
65年第68季度 算法和问题复杂性分析
20F05型 组的生成器、关系和表示

关键词：

置换群;算法;计算机代数系统;黑盒组;Schreier-Sims算法;成分系列;主要系列;演示文稿

引文：

Zbl 0487.68055号;Zbl 0785.20001号;Zbl 0836.20094;Zbl 0885.68090号;Zbl 0521.05061号;Zbl 0807.20001号;Zbl 0215.0002号;Zbl 0458.20039号;Zbl 0647.20005号;Zbl 0984.20002号;Zbl 0962.20001号;Zbl 0701.20001号;Zbl 0547.20012号;Zbl 0878.20005号;Zbl 0683.20001号;Zbl 0444.20001号;兹比尔0932.20006;Zbl 1052.20034号;Zbl 0272.20030号;Zbl 1007.20033号;Zbl 0552.20004号;Zbl 0960.11053号;Zbl 1022.20004号

软件：

间隙;岩浆
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\textit{á.Seress}，置换群算法。剑桥：剑桥大学出版社（2003；Zbl 1028.20002）