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有限维凸性与优化。 (英语) Zbl 1010.90056号

经济理论研究. 13. 柏林:斯普林格。xii,第154页(2001年)。
这本书的主要目的是在有限维环境中提出凸分析的概念。这本书分为7章。其中前三篇主要讨论了(mathbb R^n)中凸性的概念和主要结果。第四章的主题是线性规划。凸函数的分析从第5章开始。第六章研究了凸函数的可微性。最后,第7章和第8章讨论了约束凸优化和非凸优化问题。
由于这本书旨在为广大读者服务,作者将材料限制在有限维的情况下。这本书的校样写得很严谨。本章末尾的练习提供了很好的补充和应用。这本书中包含的结果如今已广为人知。
第一章(mathbb R^n中的凸性)介绍了(mathbbR^n)中凸集的定义和主要拓扑性质。第二章(分离与极性)讨论了(mathbb R^n)中的分离定理。在这里,作者还展示了投影图和Minkowski-Farkas引理。第三章(凸集的极值结构)讨论了(mathbb R^n)中凸集的几何性质。给出了Krein-Milman定理和Weyl定理,并广泛讨论了凸集及其极值点之间的关系。
第4章(线性规划)简要介绍了线性规划,重点介绍了最优性条件和对偶理论。提出的唯一算法是单纯形法。Minkowski-Farkas引理用于提供最优性条件和建立对偶理论。在第五章(凸函数)中,给出了凸函数的一些重要性质。特别地,证明了此类函数在其域内部的连续性。进一步证明了定义在相对开集(U)上的凸函数序列的任意点态极限是凸的、连续的,并且是(U)的任何紧子集上的一致极限。
第六章(凸函数微分理论)提出了凸函数可微性的三个概念。第一个是方向导数,第二个是次梯度,第三个是众所周知的函数的可微性。进一步证明了凸函数逐点收敛序列的次微分(如第五章所研究的)也是逐点收敛的。本章提出并使用哈恩-巴纳赫定理来证明上述结果。
第七章(带凸约束的凸优化)讨论约束凸优化问题。一方面给出了解存在的充分条件。另一方面,给出了Kuhn-Tucker的著名准则。
最后,在第8章(非凸优化)中,将优化问题的分析扩展到另外两种情况。在第一节中,给出了一个点是具有拟凸目标函数和凸约束的极小化问题的解的充分必要条件。在第二节中,研究了具有连续可微但不一定是凸数据的优化问题的最优性条件。
这本书适合作为课堂课文,也适合自学。

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