布拉姆，P.J。；唐纳森，S.K。 Fukaya-Floer同调和多项式不变量的粘合公式。 （英语） Zbl 0996.57517号 赫尔穆特·霍弗（Helmut Hofer）等，《弗洛尔纪念卷》。巴塞尔：Birkhä用户。掠夺。数学。第133257-281页（1995年）。 引言：紧致4-流形上的实数子模空间携带了大量微分拓扑信息，导致了X的许多不变量。在一些简单的情况下，这些不变量只是通过对0维空间模空间中的点进行计数而获得的数字，但更普遍的是，我们可以得到关于X的同调，特别是2维同调的多项式函数。对于H_2（X）中的任何同调类（Sigma），在模空间上关联一个上同调类，假设这是偶维的，则可以计算模空间上的上维幂。这些闭流形的不变量自然会导致以下问题：如果一个闭的4流形（X）被一个三维子流形（{mathcal Y}）分裂成若干块（X=X_1\cup_{mathcal-Y}X_2），我们如何记录这些块（X_1，X_2）的微分拓扑数据，从中我们可以恢复X的不变量？当然，在这个问题上，我们遵循的是拓扑学中的一个标准主题，人们可以认为它包含了类似Mayer-Vietoris序列的同调性以及欧拉特征和签名的加法公式。该问题的完整解决方案可能对特定流形的实际计算以及对不变量本质的更深入理解（以及几何和规范理论在四维拓扑中的作用）都很重要。虽然对这个问题已经有很多了解，但仍然存在许多挑战性的问题。一个理论理解很好的例子是，当（{mathcal Y}）是一个同调3球时，我们知道可以将不变量关联到（X_1，X_2），后者取其边界的Floer同调值，不变量是通过双线性对从中获得的。这些想法是引入“拓扑场理论”概念的动机之一[M.Atiyah先生，出版物。数学。，上议院。科学。68, 175-186 (1988;Zbl 0692.53053号)]，它抽象出了这种最简单的“粘合公式”。然而，为了应对更普遍的分裂，我们需要克服更大的问题。这些问题主要与两件事有关：（1）可约连接的影响；（2） 超曲面（{mathcal Y}）对（X）中同调类的分解。（2）我们的意思是：。如果（{mathcal Y}）是一个同调球，那么任何同调类（H_2（X）中的Sigma）都可以分解为（H2（X_1）中的贡献和（H_2。相反，当（{mathcal Y}）具有非平凡同源性时，人们可能会遇到这样的情况，即H_2（X）中的类（Sigma）不能实现为\（X_1，X_2）中类的组合，而是来自\（H_2（X_1,{mathcal-Y}。在许多现实情况下，人们会同时遇到这两个问题，但在很大程度上可以将它们分开，这就是我们在本文中遵循的政策。我们研究了一种不存在可约化连接的情况，并且我们表明，Fukaya的构造，稍微适应了我们的假设，为第二个困难提供了一个完整的答案。我们看到，有一个与\（{mathcal Y}\）和\（\gamma\）相关的“Fukaya-Floer”群，并且\（X\）的不变量可以从与\（X_1，X_2）相关的相对不变量中恢复，这些相对不变量在Fukaya-Ploer群中具有值。从本质上说，我们的结论是，“拓扑场理论”形式主义可以扩展到考虑问题（2）。本文是一个更一般的方案的一部分，我们希望在其中结合上文（2）的相关思想，以及在[S.K.唐纳森，《现代数学中的拓扑方法》，137-170（1993；Zbl 0870.57039号)]一方面[D.M.奥斯汀和P.J.布拉姆《拓扑学》第35卷第1期第167-200页（1996年；兹比尔0901.57027)]另一方面，与可约连接的问题（1）有关。该计划的目标与C.H.陶贝斯，在他的论文中[在“弗洛尔纪念卷”Prog.Math.1338587-608（1995；Zbl 0996.57501号)，见上文]，比较不同的方法应该很有趣。我们的方法与Taubes所描述的方法的一个不同之处在于，我们处理的是管上瞬子方程的一般变形，如Floer对其瞬子同调群的定义，而不是Taubes所考虑的未扰动方程。这意味着我们避免了大多数分析困难，并且这些问题在本质上变得更具代数拓扑性。本文在很大程度上是一项阐述性工作，因为我们需要的几何结果大多是Fukaya详细证明的结果的小变体。我们的另一个起点，特别是关于第4节的，是M.Furuta先生我们发现这对理解Fukaya的工作非常有帮助。最近，一篇关于M.Furuta先生【Lect.Notes Pure Appl.Math.145，69-77（1993；Zbl 0814.57024号)]介绍了一些相关的想法。在第2节中，我们首先讨论了“粘合问题”的一个简单案例，该案例以原型形式包含了一般情况下产生的大多数想法。在第三节中，我们定义了Fukaya-Floer群，并说明了关于它们的主要结果，并给出了轮廓证明。在第4节中，我们解释了如何将这些思想融入标准代数拓扑的框架中，在一定程度上解释了第3节中详细的莫尔斯理论定义。在第5节中，我们对拓扑场理论中的多项式不变量进行了一些简单的观察：我们发现了由4流形分裂产生的不变量之间的关系。关于整个系列，请参见[Zbl 0824.00019号]. 引用于三评论引用于7文件 MSC公司： 57兰特 整体分析在流形结构中的应用 58D27个 微分几何结构的模问题 58D29个 拓扑结构的模问题 引文：Zbl 0692.53053号；Zbl 0870.57039号；Zbl 0901.57027号；Zbl 0996.57501号；Zbl 0814.57024号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.J.Braam}和\textit{S.K.Donaldson}，程序。数学。133257--281（1995年；Zbl 0996.57517）