埃里希·彼得·克莱门特；拉德科·梅西亚尔；恩德·帕普 三角规范。 （英语） Zbl 0972.0302号 逻辑趋势——Studia Logica图书馆。8.多德雷赫特：Kluwer学术出版社。xix，385页（2000年）。 不确定性传统上是由概率论来描述的，在概率论中，陈述中的不确定性是由概率来描述的——一个来自区间（[0,1]\）的数字。继概率论之后，出现了其他几种描述不确定性、模糊性等程度的形式。大多数形式也使用区间值（[0,1]\）来描述相应的程度。在每一种形式中，我们都遇到了一个类似的问题：我们知道语句的不确定性程度（置信度等）（a=d（a）），我们知道语句（b）的不确定性度（b=d（b）），关于（a）和（b）我们没有任何附加信息，我们想估计度（d（a\&b）。在估计这个程度时，我们可以使用的唯一信息是两个数字\（a）和\（b），因此这个估计是\（a \）和_（b \）的函数\（T（a，b）\）。这个函数的自然属性是什么？由于语句（A&B）和（B&A）是等价的，因此自然要求相应的估计（T（A，B））和（T（B，A））重合，即运算（T）是可交换的。同样，从（A\&（B\&C）和（A\&B）\&C表示同一事物这一事实出发，我们得出结论：运算（T\）必须是关联的。如果我们对（A）的信任度增加，那么对（A和B）的信任程度应该增加或保持不变；因此，\（T\）必须是单调的。最后，如果我们对（A）有绝对把握，即如果（A=1），那么我们对（A&B）的信念程度应该等于对（B）的信心程度，即（T（1，B）=B）。满足这四个特性的函数（T）称为三角范数（简称T-范数）。这个名字来自K.Menger，他于1942年在概率度量空间中引入了此类函数，其中两点之间的距离是一个随机变量。为了建立三角不等式的概率形式（ρ（x，z）\leq\rho（x，y）+\rho。此后，t-范数被成功地应用于概率论中，用于估计随机变量（X）和（Y）的概率（P（X×Y×Y）），以及模糊逻辑中的概率等。除了估计对（A\&B）的信念程度的必要性之外，我们还有一个类似的问题，即估计对（A \vee B）的信仰程度。这个问题导致了t-conorm（S（a，b））的类似一般概念。从数学的观点来看，t-范数和t-conorms之间存在1-1的对应关系：如果（t）是t-范量，那么（1-t（1-a，1-b）是t-conorm，反之亦然。因此，t-范数（“和”-运算）的数学描述也有助于我们理解“或”-运算。t-范数的实用性鼓励了他们的理论分析。对这一分析贡献最大的是两个数学领域：首先，由于对t-范数的所有要求都是函数方程，所以使用了一般函数方程理论；其次，由于这些条件之一是结合性，所以t-范数是一个半群运算，所以也使用了半群理论。正在审查的这本书对几乎所有已知的关于t-规范的理论结果进行了百科全书式的概述，并对几乎所有这些结果进行了证明（唯一的例外是关于Frank t规范的已知结果，该结果未经证明）。作者显然花费了相当多的时间，使这些证明比原始论文中的更清楚、更具教学意义。本书还概述了t-范数的各种应用。这些应用中的许多导致了其他有趣的定理；这些应用的范围如此之广，方法如此之不同，以至于作者明智地决定在不复制证明的情况下展示大多数结果。t范数理论的主要结果之一是20世纪60年代的连续t范数分类定理。这个结果将每个t-范数表示为同构于三个标准范数的运算的“序数和”：乘积\（a\cdot b\）、\（\max（a+b-1,0）\）和\（\main（a，b）\）。乍一看，这一结果似乎在很大程度上关闭了这一研究领域。有趣的是，作者描述了许多新的结果（其中许多是作者自己证明的），这些结果确实增加了我们对t范数的了解。这些结果包括：不同已知t-范数类的公理化特征；一个近似结果，根据该结果，每个t-范数都可以用严格阿基米德范数（同构于\（a\cdot b\）的范数）进行近似；t范数比较结果；以及从某些对（（a，b）上的值唯一重建t-范数（t（a，b））的可能性。这本书的一个有趣的部分与t-规范来自“and”这个事实有关，但逻辑除了“and”之外还有连接词。t-范数和“or”之间的关系很简单。与“not”和“implies”对应的运算的关系不太直接，因此数学上更有趣。作者概述了相应的结果。作者还概述了t-范数的不同有用推广：推广到不同于\（[0,1]\）的集，从离散格推广到一般格；关于\（[0,1]\）的更一般的关联运算；最后是对\（[0,1]\）的非关联操作。当一个操作是非关联的时，从二进制到（n）元操作的转换变得非平凡；因此，作者概述了几种类似于t-范数的元运算。这本书写得很好，几乎囊括了所有已知的结果。对于所有使用t-范数的研究人员来说，无论是在统计学或模糊研究中，还是在任何地方，这都是必须的。这本书是那些使用t-规范并想更多了解t-规范的人的必读之书，但即使是那些已经是t-规范专家的人也会发现许多新的结果，毫无疑问，还有许多新的应用。审核人：弗拉基克·雅。克雷诺维奇（埃尔帕索） 引用于9评论引用于1451文件 MSC公司： 03-02 与数学逻辑和基础相关的研究展览（专著、调查文章） 03B52号 模糊逻辑；模糊逻辑 03E72型 模糊集理论等。 20M99型 半群 第39页第22页 实函数的函数方程 94D05型 模糊集和逻辑（与信息、通信或电路理论有关） 关键词：三角范数；模糊逻辑；概率度量空间；连接线；半群 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.P.Klement}等人，三角范数。多德雷赫特：Kluwer学术出版社（2000；Zbl 0972.0302）