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马尔可夫点过程及其应用。 (英语) Zbl 0968.60005号

伦敦:ICP,帝国理工学院出版社(ISBN 1-86094-071-4/hbk;978-1-86094-976-0/电子书)。viii,175页。(2000).
本书致力于研究完全可分度量空间({mathcal X})上的点域(点过程)。带有分布\(\pi\)的标准泊松点场是更一般构造的基础。研究了分布相对于(pi)绝对连续的点场。这样的分布可以由相对于(pi)的密度(p({mathbfx})(在N^{text{lf}}中为{mathbf x}})决定,其中(N^{text{lf})是空间({mathcal x})的所有局部有限子集(构形)的集合。如果对于所有\(u \ in{\mathcal X}\),比率\(p({\mathbf X}\cup \{u})/p({\mathbf X})\)仅取决于\(u \)和与\(u \)相邻的所有\(X \ in{\mathbf X}\),则点域被称为马尔可夫域。邻域被公理化地定义为\({\mathcal X}\)上的对称自反关系。通常,这种关系具有明确的物理或生物学解释,并导致不同形式的依赖。例如,紧空间\({mathcal X}:X\simy\Leftrightarrow\text{dist}(X,y)<R\)上的硬核邻接关系表示马尔可夫密度\(p({X_1,\dots,X_n\})=\alpha\beta^nI(\text{dist{(X_i,X_j)\geq R\),\(i\neq j),其中\(\alpha\)、\(\beta\)、(R\)是模型的参数,\(i\)是指示符功能。
关于马尔可夫点域的最一般的结果是Hammersley-Clifford定理,它给出了一个因子分解公式,将密度(p({mathbfx})表示为与配置({matHBfx}\)的所有最大连通子集(团)集相对应的因子的乘积。除了直接指定点场分布外,还有另一种确定方法。可以在可测空间(N^{text{lf}})上从某个有限配置({mathbfx}_0)开始构造一个步进马尔可夫过程。在此过程中,在任何跳转时间,要么将一个点添加到当前配置中(在空间({\mathcal X})上具有相应的分布),要么删除当前配置中的一个点。这是空间({mathcal X})上众所周知的出生和死亡过程。在统计物理学中,这个过程被称为Metropolis-Hastings算法,用于构造马尔可夫点场序列。在某些条件下,它们的分布收敛于稳定的马尔可夫点场分布。在分析点场以获得统计推断时,它是蒙特卡罗方法的基础。对模型参数和拟合优度检验提出了一些估计。分析了许多具有物理或生物应用的示例。书目由221项组成。

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60-02 概率论相关研究综述(专著、调查文章)
60G55型 点过程(例如,泊松、考克斯、霍克斯过程)
60G57型 随机测量
60G60型 随机字段
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全文: 内政部